Questão 1. Quando o preço unitário de um produto é $p$ reais, o fabricante tem interesse em ofertar $x$ centenas de unidades, em que
$$3p^2 - x^2 = 12$$(a) (1 ponto) Qual o valor de $x$ se o preço unitário é $R\$$ 4,00?
(b) (1.5 ponto) Qual é a taxa de variação da oferta com o tempo se o preço unitário de $R\$$ 4,00 está aumentando à taxa de 87 centavos por mês?
(a) Para encontrar o valor de $x$, basta substituir o valor $p = 4$ na expressão dada. Onde encontramos:
$\fbox{x = 6}$, ou seja, para o preço de $R\$$ 4,00 o fabricante tem interesse em ofertar 600 unidades.
(b) A taxa de variação da oferta com tempo é dada pela derivada $\dfrac{dx}{dt}$, onde podemos obtê-la por derivação implícita ou através da regra da cadeia. Usando derivação implícita e derivando a expressão em relação ao tempo $t$:
$3\cdot2p\dfrac{dp}{dt} - 2x\dfrac{dx}{dt} = 0$, ou seja, $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{3p}{x}\dfrac{dp}{dt}$.
No enunciado é dado que a taxa de variação do preço está aumentando à taxa de 87 centavos por mês, ou seja, $\dfrac{dp}{dt}$ = $R\$$ 0.87 / mês.
$\fbox{$\dfrac{dx}{dt}$ = 1,74}$, ou seja, a oferta estará variando à taxa de 174 unidades/mês para as condições dadas.
Questão 2. Um fabricante estima que $x$ unidades de determinado produto serão vendidas se o preço unitário for $p(x) = 112 - x\ln{(\sqrt{x})}$ centenas de reais.
(a) (1 ponto) Determine as funções receita e receita marginal.
(b) (1.5 ponto) Estime a receita obtida com a produção da 21ª unidade. Qual é a receita real obtida com a produção da 21ª unidade?
(a) $\fbox{Função receita: $R(x) = x\,p(x) = 112x - x^2\ln{\sqrt{x}} = 112x - \dfrac{x^2}{2}\ln{x}$}$
$\fbox{Função receita marginal: $R'(x) = 112 - x\ln{x} - \dfrac{x}{2}$}$
(b) $\fbox{Receita estimada: $R'(20) = 42,09$, ou seja, $R\$$ 4209}$ $\fbox{Receita real: $R(21) - R(20) = 39,829$, ou seja, $R\$$ 3982,93}$
Questão 3. Um estudo demográfico realizado em certa cidade indica que $P(r)$ centenas de pessoas moram a $r$ quilômetros do centro da cidade, em que
$$P(r) = \dfrac{15r + 5}{r^2 + r + 2}$$onde $r \geq 0$.
(a) (0.5 ponto) Qual é a população no centro da cidade?
(b) (1.0 ponto) Para que valores de $r$ a função $P(r)$ é crescente? Para que valores é decrescente?
(c) (1.0 ponto) A que distância do centro da cidade a população é máxima? Qual é essa população máxima?
(a) A população no centro corresponde a $P(0)$:
$\fbox{250 pessoas}$
(b) $\dfrac{dP}{dr} = \dfrac{-15r^2 - 10r + 25}{(r^2 + r + 2)^2} = \dfrac{-15(r - 1)(r + 5/3)}{(r^2 + r + 2)^2}$
$\fbox{A função é crescente para $0 < x < 1$ e decrescente para $x > 1$ (em $x = 1$ temos um máximo local)}$
(c) $\fbox{A população é máxima a 1 km do centro da cidade, correspondendo a 500 pessoas}$
Questão 4. Considere a função a $f(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2$:
(a) (0.5 ponto) Determine o domínio de $f(x)$.
(b) (0.5 ponto) Encontre as assíntotas, caso existam.
(c) (0.5 ponto) Determine os intervalos onde $f(x)$ é crescente e onde é decrescente e os pontos de máximo e mínimo.
(d) (0.5 ponto) Determine os intervalos onde $f(x)$ é côncava para baixo e onde é côncava para cima e os pontos de inflexão.
(e) (0.5 ponto) Usando as informações dos itens acima, esboce o gráfico de $f(x)$.
(a) $\fbox{Domínio $\equiv$ ${x \in \mathbb{R}}$}$
(b) $\fbox{Não existem assíntotas}$
(c) $f'(x) = 4x^3 + 12x^2 + 8x = 4x\,(x^2 + 3x + 2) = 4x\,(x + 1)(x + 2)$
Números críticos: $x = -2$, $x = -1$ e $x = 0$, correspondendo, respectivamente, aos pontos (-2, 0), (-1, 1) e (0, 0)
(d) $f''(x) = 12x^2 + 24x + 8x = 4x\,(3x^2 + 6x + 2)$
$f''(x) = 0$ para: $x = -1 - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \approx -1,58$ e $x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} -1 \approx -0,42$, correspondendo, respectivamente, aos pontos (-1.58, 0.44) e (-0.42, 0.44)
(e) Gráfico da função: