Questão 1. (2 pontos) Determine o domínio das funções dadas. Justifique a resposta.
(a) $f(x) = \dfrac{(x + 1)^3}{x^2 + 5x + 6}$
(b) $h(x) = \dfrac{\sqrt{x - 2}}{x^2 + 1}$
(c) $f(t) = \dfrac{t^4}{\sqrt{16 - t^2}}$
(d) $j(x) = \sqrt{5x + 6} + \sqrt{x^2 - 9}$
O domínio de uma função corresponde aos valores da variável independente ($x$) nos quais a função ($f(x)$) é definida.
Neste problema, devemos verificar para quais valores da variável independente a função está, ou não, definida. O domínio será dado por $\mathbb{R}$ excluído os valores da variável independende que tornam a função indefinida.
(a) O numerador é uma função potência que é definida para todo $x$. Porém, o denominador será nulo quando a função $x^2 + 5x + 1 = 0$. Para encontrar as raízes de $x^2 + 5x + 1$, utilizamos a fórmula de Bhaskara:
x = $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$, onde $\Delta = b^2 - 4\cdot a\cdot c$
Onde encontramos que $x = -3$ ou $x = -2$. Portanto, o domínio da função será:
D = $\{x \in \mathbb{R} : x \neq -3$ e $x \neq -2\}$
(b) O denominador é sempre positivo, para qualquer valor de $x$. Porém, o numerador é uma função raiz, que é apenas definida para valores de seu argumento maiores que zero. Logo, temos que:
$x - 2 \geq 0$. Portanto: $x \geq 2$. O domínio da função poderá ser escrito como:
D = $\{x \in \mathbb{R} : x \geq 2\}$
(c) O numerador é uma função potência definado para todo $x$. Porém, o denominador é uma função raiz e não poderá ser nula nem assumir valores negativos em seu argumento. Logo:
$16 - t^2 > 0$, ou seja:
$-4 < t < 4$
O domínio da função será:
D = $\{x \in \mathbb{R} : -4 < t < 4\}$
(d) Nesse caso, o domínio de $j(x)$ será a interseção entre os domínios dos dois termos da função, que são funções raízes:
A interseção e, portanto, o domínio da função $j(x)$ será:
D = $\{x \in \mathbb{R} : x \geq 3\}$
Questão 2. Faça um esboço do gráfico das funções dadas, mostrando as interseções com os eixos $x$ e $y$.
(a) $f(x) = 2x^2 - 5x - 3$
(b) $f(x) = \begin{cases} 1 - x^2, & \mbox{se } x\mbox{ $\leq 0$} \\ 3x - 1, & \mbox{se } x\mbox{ > 0} \end{cases}$
(a) A parábola tem concavidade para cima, pois $a > 0$ (lembrando a forma geral $ax^2 + bx + c$)
O intercepto com o eixo y, ou seja: $f(0)$:
$f(0) = - 3$
$\fbox{$(0, -3)$}$
Os interceptos com o eixo x, ou seja: $f(x) = 0$:
As raízes são:
$x = -\dfrac{1}{2}$ e $x = 3$
$\fbox{$(-\dfrac{1}{2}, 0)$, (3, 0)}$
Juntando essas informações, o gráfico fica, portanto:
(b) A função é definida para duas regiões:
I. $(-\infty, 0]$
II. $(0, \infty)$
I. Para a primeira região, $(-\infty, 0]$, a função assume a forma $f(x) = 1 - x^2$
O intercepto com o eixo y, ou seja: $f(0)$ é:
$f(0) = 1$
$\fbox{$(0, 1)$}$
Com o eixo x, ou seja: $f(x) = 0$:
As raízes são:
$x = -1$ e $x = 1$. Como a raiz $x = 1$ está fora do intervalo de definição, temos apenas o intercepto:
$\fbox{$(-1, 0)$}$
II. Para a segunda região, $(0, \infty)$, a função assume a forma $f(x) = 3x - 1$
O intercepto com o eixo y, ou seja: $f(0)$ é:
$f(0) = -1$. Notando que este será um ponto aberto, pois a função está definida apenas para valores maiores que zero.
$\fbox{$(0, -1)$}$
Com o eixo x, ou seja: $f(x) = 0$:
A raiz é:
$x = \dfrac{1}{3}$
$\fbox{$(\dfrac{1}{3}, 0)$}$
Juntando essas informações, o gráfico fica, portanto:
Questão 3. (2 pontos) Uma fábrica pode produzir estantes a um custo de R$\$$ 80,00 a unidade. Os analistas da empresa estimam que se as estantes forem vendidas por $x$ reais a unidade, aproximadamente 150 - x unidades serão vendidas por mês. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda, x, desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda.
O lucro consiste da diferença entre a receita arrecadada e os custos de produção sendo, neste problema, uma função do preço:
$L(x) = R(x) - C(x)$
A receita é dada pelo número de unidades vendidas ($150 - x$) vezes o preço cobrado por unidade ($x$):
$R(x) = (150 - x)\,x$
O custo é dado pelo número de unidades vendidas ($150 - x$) vezes o custo relativo a cada unidade ($80$):
$C(x) = (150 - x)\,80$
Logo, o lucro é dado por:
$L(x) = (150 - x)\,x - (150 - x)\,80 = (150 - x)\,(x - 80) = -x^2 + 230x - 12000$
O intercepto com o eixo y, ou seja: $f(0)$ é:
$L(0) = -12000$
$\fbox{$(0, -12000)$}$
Com o eixo x, ou seja: $L(x) = 0$:
As raízes são:
$x = 80$ e $x = 150$.
$\fbox{$(80, 0); (150, 0)$}$
O gráfico fica:
O preço de lucro máximo é dado pelo $x_v$ do vértice:
$x_v = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{230}{2\,(-1)} = 115$
Portanto:
$\fbox{Preço ótimo = R\$ 155}$
Questão 4. (2 pontos) Determine todos os números $x$ reais que satisfazem a equação dada.
(a) $5^x = e^4$
(b) $\log_3 (2x + 1) = 2$
(c) $\ln(x - 3) = \ln20 - \ln5$
(d) $e^{2x} - 7e^x + 12 = 0$
(a) Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da equação e usando as propriedades dos logarítmicos:
$\ln 5^x = \ln e^4$
$x\ln 5 = 4$
$\fbox{$x = \dfrac{4}{\ln 5}$}$
(b) Usando a definição de logaritmo, $\log_a x = y$ é equivalente a $a^y = x$, logo:
$\log_3 (2x + 1) = 2$ equivale a: $3^2 = 2x + 1$
$2x + 1 = 9$
$2x = 10$
$\fbox{$x = 5$}$
(c) Primeiramente, simplificamos os termos à direita da igualdade, usando as propriedades dos logarítmicos:
$\ln20 - \ln5 = \ln\left(\dfrac{20}{5}\right) = \ln 4$
Para resolver, usamos outra propriedade logarítmica: se $\ln x$ = $\ln y$, então x = y, ou seja:
$\ln(x - 3) = \ln 4$
$x - 3 = 4$
$\fbox{x = 7}$
(d) Fazendo a substituição: $y = e^x$, temos:
$y^2 - 7y + 12 = 0$
As raízes desta equação são: $y = 3$ e $y = 4$. 'Desfazendo' a substituição:
$e^x = 3 \rightarrow x = \ln 3$
$e^x = 4 \rightarrow x = \ln 4 = \ln 2^2 = 2\ln 2$
$\fbox{$x = \ln 3$ e $x = 2\ln 2$}$
Questão 5. (2 pontos) Determine os limites indicados. Se o valor for infinito, indique se é $+\infty$ ou $-\infty$.
(a) $\lim\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{3x^2 - 8}{x - 2}$
(b) $\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{7x^2 + 3}{2x^2 + 5x + 6}$
(c) $\lim\limits_{x\rightarrow 0} (6 + \dfrac{1}{x^2})$
(d) $\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x - 2}{x(x^2 - 4)}$
(a) Dada a função racional $f(x) = \dfrac{3x^2 - 8}{x - 2}$, onde $x = 3$ está dentro do domínio da função, então:
$\lim\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{3x^2 - 8}{x - 2} = f(3) = 19$
Portanto:
$\fbox{$\lim\limits_{x\rightarrow 3} \dfrac{3x^2 - 8}{x - 2} = 19$}$
(b) Neste caso, para calcular o limite no infinito, conservamos os maiores termos de $x$ no numerado e no denominador da função racional e depois simplificamos a fração resultante:
$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{7x^2}{2x^2} = \lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{7}{2} = \dfrac{7}{2}$
Portanto:
$\fbox{$\lim\limits_{x\rightarrow + \infty} \dfrac{7x^2 + 3}{2x^2 + 5x + 6} = \dfrac{7}{2}$}$
(c) Quando $x$ tende a zero, seja esquerda, seja pela direita, a fração $\dfrac{1}{x^2}$ tende a infinito:
$\lim\limits_{x\rightarrow 0} (6 + \dfrac{1}{x^2}) = 6 + \infty = \infty $
Portanto:
$\fbox{$\lim\limits_{x\rightarrow 0} (6 + \dfrac{1}{x^2}) = \infty$}$
(d) Reescrevendo o denominador como um produto notável e simplificando a expressão resultante:
$\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x - 2}{x(x + 2)(x - 2)} = \lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{1}{x(x + 2)}$
Agora, podemos substituir $x = 2$ na expressão anterior:
$\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{1}{x(x + 2)} = \dfrac{1}{2(2 + 2)} = \dfrac{1}{8}$
Portanto:
$\fbox{$\lim\limits_{x\rightarrow 2} \dfrac{x - 2}{x(x^2 - 4)} = \dfrac{1}{8}$}$
Estatísticas da prova:
Média: 5.41
Mediana: 5.70
Desvio padrão: 2.56