Questão 1. Quando o preço unitário de um produto é $p$ reais, a demanda é de $x$ centenas de unidades, em que
$$x^2 + 3px + p^2 = 79$$(a) (1 ponto) Qual o valor de $x$ se o preço unitário é $R\$$ 5,00?
(b) (1.5 ponto) Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário de $R\$$ 5,00 está diminuindo à taxa de 30 centavos por mês?
(a) Substituindo $p = 5$ na expressão dada, obtemos $x = -18$ ou $x = 3$. Como não faz sentido demanda negativa, temos:
$\fbox{x = 3}$, ou seja, para o preço de $R\$$ 5,00 a demanda do produto é de 300 unidades.
(b) Derivando a expressão implicitamente em relação ao tempo $t$:
$2x\dfrac{dx}{dt} + 3x\dfrac{dp}{dt} + 3p\dfrac{dx}{dt} + 2p\dfrac{dp}{dt} = 0$
$(2x + 3p)\dfrac{dx}{dt} = (- 3x - 2p)\dfrac{dp}{dt}$
$\dfrac{dx}{dt} = \left(\dfrac{-3x - 2p}{2x + 3p}\right)\dfrac{dp}{dt}$, onde sabemos que $p = 5$, $x = 3$ e $\dfrac{dp}{dt} = -0.30$ (preço diminui à taxa de 30 centavos/mês). Logo:
$\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{-3(3) - 2(5)}{2(3) + 3(5)}(-0.30)$
$\fbox{$\dfrac{dx}{dt} \approx 0,27$}$, ou seja, a demanda estará aumentando à taxa de 27 unidades/mês para as condições dadas.
Questão 2. Um fabricante estima que $x$ unidades de determinado produto serão vendidas se o preço unitário for $p(x) = 112 - x\ln{(\sqrt{x})}$ centenas de reais.
(a) (1 ponto) Determine as funções receita e receita marginal.
(b) (1.5 ponto) Estime a receita obtida com a produção da 21ª unidade. Qual é a receita real obtida com a produção da 21ª unidade?
(a) $\fbox{Função receita: $R(x) = x\,p(x) = 112x - x^2\ln{\sqrt{x}} = 112x - \dfrac{x^2}{2}\ln{x}$}$
$\fbox{Função receita marginal: $R'(x) = 112 - x\ln{x} - \dfrac{x}{2}$}$
(b) $\fbox{Receita estimada: $R'(20) = 42,09$, ou seja, $R\$$ 4209}$ $\fbox{Receita real: $R(21) - R(20) = 39,829$, ou seja, $R\$$ 3982,93}$
Questão 3. Um estudo demográfico realizado em certa cidade indica que $P(r)$ centenas de pessoas moram a $r$ quilômetros do centro da cidade, em que
$$P(r) = \dfrac{15r + 5}{r^2 + r + 2}$$onde $r \geq 0$.
(a) (0.5 ponto) Qual é a população no centro da cidade?
(b) (1.0 ponto) Para que valores de $r$ a função $P(r)$ é crescente? Para que valores é decrescente?
(c) (1.0 ponto) A que distância do centro da cidade a população é máxima? Qual é essa população máxima?
(a) A população no centro corresponde a $P(0)$:
$\fbox{250 pessoas}$
(b) $\dfrac{dP}{dr} = \dfrac{-15r^2 - 10r + 25}{(r^2 + r + 2)^2} = \dfrac{-15(r - 1)(r + 5/3)}{(r^2 + r + 2)^2}$
$\fbox{A função é crescente para $0 < x < 1$ e decrescente para $x > 1$ (em $x = 1$ temos um máximo local)}$
(c) $\fbox{A população é máxima a 1 km do centro da cidade, correspondendo a 500 pessoas}$
Questão 4. Considere a função a $f(x) = x^3 - 3x^4$:
(a) (0.5 ponto) Determine o domínio de $f(x)$.
(b) (0.5 ponto) Encontre as assíntotas, caso existam.
(c) (0.5 ponto) Determine os intervalos onde $f(x)$ é crescente e onde é decrescente e os pontos de máximo e mínimo.
(d) (0.5 ponto) Determine os intervalos onde $f(x)$ é côncava para baixo e onde é côncava para cima e os pontos de inflexão.
(e) (0.5 ponto) Usando as informações dos itens acima, esboce o gráfico de $f(x)$.
(a) $\fbox{Domínio $\equiv$ ${x \in \mathbb{R}}$}$
(b) $\fbox{Não existem assíntotas}$
(c) $f'(x) = 3x^2 - 12x^3 = 3x^2\,(1 - 4x)$
Números críticos: $x = 0$ e $x = \dfrac{1}{4}$, correspondendo, respectivamente, aos pontos $(0, 0)$ e $\left(\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{256}\right)$
A função é crescente no intervalo $\left(-\infty, \dfrac{1}{4}\right)$ e decrescente no intervalo $\left(\dfrac{1}{4}, \infty\right)$
Máximo local: em $x = \dfrac{1}{4}$
Mínimo local: Não possui.
(d) $f''(x) = 6x - 36x^2 = 6x\,(1 - 6x)$
$f''(x) = 0$ para: $x = 0$ e $x = \dfrac{1}{6}$, correspondendo, respectivamente, aos pontos $(0,0)$ e $\left(\dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{432}\right)$
Concavidade para cima: $\left(0, \dfrac{1}{6}\right)$
Concavidade para baixo: $\left(-\infty, 0\right)$ e $\left(\dfrac{1}{6}, \infty\right)$
Pontos de inflexão em: $x = 0$ e $x = \dfrac{1}{6}$
(e) Gráfico da função: