O Método da Interpolação Constante é o método mais simples de interpolação. Neste método, o valor estimado da função $f(x)$ para um valor de $x$ arbitrário é exatamente o valor de $f(x)$ no ponto conhecido mais próximo.
Conseguimos a seguinte tabela de uma certa função $f$:
| $x_i$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f$($x_i$) | $1$ | $-3$ | $7$ | $2$ | $0$ |
Encontre o valor da função $f$ para um valor de $x$ arbitrário utilizando o Método da Interpolação Constante.
Um valor de ponto flutuante $0 \leq X \leq 4$.
Um valor de ponto flutuante $y$ com seis casas decimais de precisão indicando o valor de $f(X)$ encontrado.
1.6
7.000000
In [ ]:
O Método da Interpolação Linear consiste em ligas pontos conhecidos consecutivos por um segmento de reta. Neste caso, o interpolante é dado por um conjunto de segmentos de reta.
Dados os seguinte pontos conhecidos de uma função $y = f(x)$:
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $y$ | $0$ | $1.5$ | $1.1754$ | $-0.0468$ | $0.8825$ | $3.3291$ |
Encontre o valor da função $f$ para um valor de $x$ arbitrário utilizando o Método da Interpolação Linear.
Um valor de ponto flutuante $0 \leq X \leq 5$.
Um valor de ponto flutuante $y$ com seis casas decimais de precisão indicando o valor de $f(X)$ encontrado.
0.5
0.750000
In [ ]:
O Método da Interpolação Polinomial consiste em encontrar um polinômio de ordem até $N$ que passe por todos os $N+1$ pontos conhecidos.
Dados cinco pontos conhecidos de uma função $f(x)$, encontre os coeficientes do seu polinômio interpolante.
Cinco pares de valores de ponto flutuante $-10^4 \leq x_i, y_i \leq 10^4$.
Os cinco coeficientes $a, b, c, d, e$ do polinômio interpolante $p(x)$ dado abaixo, com seis casas de precisão.
$$ p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e $$0.0 0.0
1.0 1.0
2.0 4.0
3.0 9.0
4.0 16.0
0.000000
0.000000
1.000000
0.000000
0.000000
In [ ]:
Dados $N$ pontos $(x_i,y_i)$ conhecidos de uma função $f(x)$, encontre os valores da função $f(x)$ para os valores de $x$ fornecidos. Utilize o Método da Interpolação Polinomial.
A primeira linha da entrada consiste de um valor inteiro $2 \leq N \leq 100$, indicando o número de pontos conhecidos da função $f(x)$. As próximas $N$ linhas consistem de dois valores de ponto flutuante cada, indicando os valores $(x_i,y_i)$ do i-ésimo ponto. A próxima linha consiste de um valor inteiro $1 \leq M \leq 1000$, indicando a quantidade de valores de $x$ para os quais queremos saber o valor de $f(x)$.
A saída deve conter $M$ linhas, cada uma com a seguinte mensagem: "$f(x_a) = y_a$". Onde $x_a$ é o valor de $x$ dado e $y_a$ é o valor encontrado para $f(x_a)$. Os valores de $x_a$ e $y_a$ devem ser impressos com 6 casas decimais de precisão.
5
0.0 0.0
1.0 1.0
2.0 4.0
3.0 9.0
4.0 16.0
2
1.5
2.5
$\texttt{f(1.500000) = 2.250000}$
$\texttt{f(2.500000) = 5.250000}$
In [ ]:
O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) consiste em ajustar uma curva a esses pontos de forma a minimizar o Erro Quadrático (EQ), ou seja, minimizar a soma dos quadrados das distâncias entre a curva e os pontos.
Encontre os coeficientes $A$ e $B$ ao ajustar uma reta a um conjunto de $N$ pontos $(x,y)$, utilizando o MMQ.
A primeira linha da entrada consiste de um valor inteiro $2 \leq N \leq 1000$, indicando o número de pontos conhecidos da função $f(x)$. As próximas $N$ linhas consistem de dois valores de ponto flutuante cada, indicando os valores $(x_i,y_i)$ do i-ésimo ponto.
A saída deve conter a seguinte mensagem: "$Y = A * X + B$". Onde $A$ e $B$ são os coeficientes encontrados, impressos com seis casa decimais de precisão.
5
0.0 0.0
1.0 3.0
2.0 2.0
3.0 5.0
4.0 4.0
$\texttt{Y = 1.000000 * X + 0.800000}$
In [ ]:
Utilizando o MMQ, encontre os coeficientes $A$, $B$ e $C$ ao ajustar uma parábola a um conjunto de $N$ pontos $(x,y)$.
A primeira linha da entrada consiste de um valor inteiro $3 \leq N \leq 1000$, indicando o número de pontos conhecidos da função $f(x)$. As próximas $N$ linhas consistem de dois valores de ponto flutuante cada, indicando os valores $(x_i,y_i)$ do i-ésimo ponto.
A saída deve conter a seguinte mensagem: "$Y = A * X$^$2 + B * X + C$". Onde $A$, $B$ e C são os coeficientes encontrados, impressos com seis casa decimais de precisão.
5
0.0 0.0
1.0 3.0
2.0 2.0
3.0 5.0
4.0 4.0
$\texttt{Y = -0.285714 * X^2 + 2.142857 * X + 0.228571}$
In [ ]:
Encontre o EQ mínimo ao ajustar uma reta a um conjunto de $N$ pontos $(x,y)$, utilizando o MMQ.
A primeira linha da entrada consiste de um valor inteiro $2 \leq N \leq 100$, indicando o número de pontos conhecidos da função $f(x)$. As próximas $N$ linhas consistem de dois valores de ponto flutuante cada, indicando os valores $(x_i,y_i)$ do i-ésimo ponto.
Um único valor de ponto flutuante com seis casas decimais de precisão, indicando o EQ mínimo para a aproximação.
5
0.0 0.0
1.0 3.0
2.0 2.0
3.0 5.0
4.0 4.0
4.800000
In [ ]:
Utilize o MMQ para encontrar a função que melhor se ajusta a um conjunto de $N$ pontos $(x,y)$, ou seja, que possua o menor EQ. As opções de funções são:
$$ \begin{cases} f(x) = C_0 + C_1x^3 \\ g(x) = C_0 + C_1sin(x) \\ h(x) = C_0 + C_1e^x \end{cases} $$A primeira linha da entrada consiste de um valor inteiro $3 \leq N \leq 1000$, indicando o número de pontos conhecidos da função $f(x)$. As próximas $N$ linhas consistem de dois valores de ponto flutuante cada, indicando os valores $(x_i,y_i)$ do i-ésimo ponto.
A saída deve conter três linhas. A primeira linha deve conter a mensagem "$EQ(FUNCAO) = ERRO$", onde $FUNCAO$ deve ser $f$, $g$ ou $h$, indicando a função de menor EQ e $ERRO$ deve ser o valor do EQ mínimo encontrado. As segunda e terceira linhas devem conter os valores de $C_0$ e $C_1$, conforme mostrado na saída de teste. Todos os valores devem ter seis casas decimais de precisão.
5
0.0 0.0
1.0 3.0
2.0 2.0
3.0 5.0
4.0 4.0
$\texttt{EQ(f) = 8.952249}$
$\texttt{C0 = 1.900346}$
$\texttt{C1 = 0.044983}$
In [ ]: