Questão 1. (1.5 ponto) Determine o valor da constante A que torna a função dada $f(x)$ contínua para qualquer valor de x, justificando todos os passos. (0.5 ponto) Esboce o gráfico da função resultante.
$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 9}{x + 3}, & \mbox{se } x\mbox{ $< 3$} \\ Ax^2 + x - 21, & \mbox{se } x\mbox{ $\geq 3$} \end{cases}$$Primeiramente, identificamos os possíveis pontos de descontinuidade da função:
Logo, não é possível encontrar um valor de $A$ que torne a função contínua para todo $x$. Porém, podemos determinar o valor de $A$ que torna a função contínua em $x = 3$. Para isso, temos que: $$\lim\limits_{x\rightarrow 3} f(x) = f(3)$$
Para que esse limite exista, os limites laterais têm que ser iguais: $\lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 3^-} f(x)$.
$\lim\limits_{x\rightarrow 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 3^+} (Ax^2 + x - 21) = 9A - 18$
$\lim\limits_{x\rightarrow 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\rightarrow 3^-} \dfrac{x^2 - 9}{x + 3} = \lim\limits_{x\rightarrow 3^-} \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = \lim\limits_{x\rightarrow 3^-} x - 3 = 0$
Logo:
$9A - 18 = 0 \rightarrow \fbox{A = 2}$.
Portanto, para $A = 2$, $\lim\limits_{x\rightarrow 3} f(x) = f(3)$.
O gráfico da função fica:
Questão 2. (3 pontos) Determine a derivada das seguintes funções:
(a) $f(x) = (3x^4 + 8)(x^2 - 2)$
(b) $h(t) = \dfrac{2t + 1}{t^2 + 1}$
(c) $g(x) = (2x^4 - 3x^2 + 5)^{15}$
(d) $f(x) = x^2\,e^{x}$
(e) $y = x^5\,\ln{x}$
(f) $f(x) = \ln{\left(\dfrac{5}{x^2 + 1}\right)}$
(a) Utilizando a regra do produto e simplificando:
$f'(x) = (3x^4 + 8)(2x) + (x^2 - 2)(12x^3) = 6x^5 + 16x + 12x^5 - 24x^3$
$f'(x) = 18x^5 - 24x^3 + 16x = 2x\,(9x^4 - 12x^2 + 8)$
$\fbox{$f'(x) = 2x\,(9x^4 - 12x^2 + 8)$}$
(b) Utilizando a regra do quociente e simplificando:
$h'(t) = \dfrac{(t^2 + 1)(2) - (2t + 1)(2t)}{(t^2 + 1)^2}$
$h'(t) = \dfrac{2t^2 + 2 - 4t^2 - 2t}{(t^2 + 1)^2}$
$\fbox{$h'(t) = \dfrac{-2t^2 - 2t + 2}{(t^2 + 1)^2}$}$
(c) Utilizando a regra da cadeia e simplificando:
$g'(x) = 15\,(2x^4 - 3x^2 + 5)^{14}(8x^3 - 6x) = 30x\,(2x^4 - 3x^2 + 5)^{14}(4x^2 - 3)$
$\fbox{$g'(x) = 30x\,(4x^2 - 3)\,(2x^4 - 3x^2 + 5)^{14}$}$
(d) Utilizando a regra do produto e simplificando:
$f'(x) = x^2\,e^{x} + e^{x}\,2x = x\,e^{x}(x + 2)$
$\fbox{$f'(x) = x\,e^{x}(x + 2)$}$
(e) Utilizando a regra do produto e simplificando:
$y' = x^5\,\dfrac{1}{x} + \ln{x}\,5x^4 = x^4 + 5x^4\,\ln{x}$
$\fbox{$y' = x^4(1 + 5\ln{x})$}$
(f) Utilizando a regra da cadeia e simplificando:
$f'(x) = \dfrac{1}{\dfrac{5}{x^2 + 1}} \cdot \left(\dfrac{5}{x^2 + 1}\right)' = \dfrac{x^2 + 1}{5} \cdot \dfrac{-5\,(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
$\fbox{$f'(x) = -\dfrac{2x}{x^2 + 1}$}$
Questão 3. O gerente de uma fábrica de eletrodomésticos observa que o número de cafeteiras vendidas por mês por $p$ reais cada uma pode ser modelado pela função:
$$N(p) = \dfrac{8000}{p}$$
O gerente estima que daqui a $t$ meses o preço de uma cafeteira será $p(t) = 0.06t^{3/2} + 22.5$ reais.
(a) (1.5 ponto) A que taxa a demanda mensal de cafeteiras $N(p)$ estará variando daqui a 25 meses?
(b) (0.5 ponto) Interprete o resultado.
(a) A taxa é dada pela regra da cadeia:
$\dfrac{dN}{dt} = \dfrac{dN}{dp} \cdot \dfrac{dp}{dt}$
As derivadas dos termos à direita da igualdade anterior são:
$\dfrac{dN}{dp} = -\dfrac{8000}{p^2}$ e $\dfrac{dp}{dt} = 0.09\,t^{1/2}$
Logo:
$\dfrac{dN}{dt} = -\dfrac{8000}{p^2}\,0.09\,t^{1/2} = -\dfrac{720\,\sqrt{t}}{p^2}$
No enunciado é pedido a taxa para $t = 25$ meses. Para encontramos a população correspondente, basta substituir o tempo $t = 25$ na expressão de $p(t)$:
$p(25) = 0.06(25^{3/2}) + 22.5 = 30$
Logo, substituindo os valores de $t = 25$ e $p = 30$ na expressão da derivada:
$\dfrac{dN}{dt}\bigg|\,^{t = 25}_{p = 30} = -\dfrac{720\,\sqrt{(25)}}{(30)^2} = -4$
$\fbox{$\dfrac{dN}{dt}\bigg|\,^{t = 25}_{p = 30} = -4$ cafeteiras/mês}$
(b)
O resultado anterior indica que daqui a 25 meses a demanda mensal de cafeteiras estará diminuindo à taxa de $4$ cafeteiras/mês.
Questão 4. (3 pontos) Use derivação implícita para determinar a inclinação da reta tangente à curva dada no ponto especificado:
(a) $xy^3 = 4;\,(-6, -1)$
(b) $1 - 2xy^2 = 3x^3 + 6y;\,(0, 1/6)$
(c) $3x^2 + 2y^3 = x^2y;\,(-3, -3)$
(d) $x - y^2 = 3e^{x} + 5y;\,(0, 1)$
(a) Derivado implicitamente:
$\dfrac{d}{dx}(xy^3) = \dfrac{d}{dx}(4)$
$y^3 + 3xy^2\dfrac{dy}{dx} = 0$
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{3x}$
Em $(-6, -1)$:
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{-1}{3(-6)} = -\dfrac{1}{18}$
Portanto:
$\fbox{$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(-6, -1)} = -\dfrac{1}{18}$}$
(b) Derivado implicitamente:
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{9x^2 + 2y^2}{4xy + 6}$
Portanto:
$\fbox{$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(0, 1/6)} = -\dfrac{1}{108}$}$
(c) Derivado implicitamente:
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2xy - 6x}{x^2 - 6y^2}$
Portanto:
$\fbox{$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(-3, -3)} = \dfrac{4}{5}$}$
(d) Derivado implicitamente:
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - 3e^x}{2y + 5}$
Portanto:
$\fbox{$\dfrac{dy}{dx}\bigg|_{(0, 1)} = -\dfrac{2}{7}$}$