Questão 1. Determine $f'(x)$ das seguintes funções:
(a) $f(x) = 12x^5 - x^3 + 7x^2 + 8x - 3$
(b) $f(x) = (x^2 + 1)(x^4 - 3x - 1)$
(c) $f(x) = \dfrac{x^3 - 5x^2 + 7}{x^3 - 1}$
(d) $f(x) = (3x^3 + 3x - 11)^{50}$
(e) $f(x) = e^{x^2 + 2}$
(f) $f(x) = \ln{(x^3 + 2x + 1)}$
Solução
(a) $f'(x) = 60x^4 - 3x^2 + 14x + 8$
(b) $f'(x) = 6x^5 + 4x^3 - 9x^2 - 2x - 3$
(c) $f'(x) = \dfrac{x\,(5x^3 - 24x + 10)}{(x^3 - 1)^2}$
(d) $f'(x) = 150\,(3x^2 + 1)\,(3x^3 + 3x - 11)^{49}$
(e) $f'(x) = 2\,x\,e^{x^2 + 2}$
(f) $f'(x) = \dfrac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x + 1}$
Questão 3. (2 pontos) Numa fábrica, o custo total para a fabricação de $x$ unidades de um certo produto durante um dia é $C(x) = 0.2x^3 - 0.1x^2 + 0.5x + 600$ reais. Após um dia de trabalho, depois de $t$ horas foram produzidas $x(t) = 10\sqrt{t^2 + 4}$ unidades. Calcule a taxa de variação do custo total em relação ao tempo, 3 horas após iniciada a produção.
Solução
Substituindo $p = 5$ na expressão dada, obtemos $x = -18$ ou $x = 3$. Como não faz sentido demanda negativa, temos:
$x = 3$, ou seja, para o preço de $R\$$ 5,00 a demanda do produto é de 300 unidades.Derivando a expressão implicitamente em relação ao tempo $t$:
$2x\dfrac{dx}{dt} + 3x\dfrac{dp}{dt} + 3p\dfrac{dx}{dt} + 2p\dfrac{dp}{dt} = 0$
Agrupando os termos
$(2x + 3p)\dfrac{dx}{dt} = (- 3x - 2p)\dfrac{dp}{dt}$.
Finalmente podemos expressar $\dfrac{dx}{dt}$ (taxa de variação da demanda em relação ao tempo) em termos do preço, da demanda e da taxa de variação do preço em relação ao tempo (dada no enunciado) como
$\dfrac{dx}{dt} = \left(\dfrac{-3x - 2p}{2x + 3p}\right)\dfrac{dp}{dt}$, onde sabemos que $p = 5$, $x = 3$ e $\dfrac{dp}{dt} = -0.30$ (preço diminui à taxa de 30 centavos/mês).
Logo: $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{-3(3) - 2(5)}{2(3) + 3(5)}(-0.30)$ $\fbox{$\dfrac{dx}{dt} \approx 0,27$}$, ou seja, a demanda estará aumentando à taxa de 27 unidades/mês para as condições dadas.
In [ ]: