Questão 1. Determine dy/dx por derivação implícita:
(a) $3x^2 + 2y^3 = 49$
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{x}{y^2}$
(b) $x^2 + 2xy - y^2 + x = 2$
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x + 2y + 1}{2y - 2x}$
(c) $\dfrac{1}{2}x^2 + 4y = x^3 + 3y^4$
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 3x^2}{12y^3 - 4}$
(d) $6xy - 2x^2y^3 = 5y$
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{6y - 4xy^3}{6x^2y^2 - 6x + 5}$
(e) $ye^{3x - x^2} = x + y$
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^{x^2} - 3y\,e^{3x} + 2xy\,e^{3x}}{e^{3x} - e^{x^2}}$
(f) $2xy + y^3 = 1$
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2y}{2x + 3y^2}$
(g) $x^2 + 2xy - y^2 + x = 2$ (repetida)
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x + 2y + 1}{2y - 2x}$
(h) $2x^{2/3} + 3y^{2/3} = 4$
Solução
$\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{\dfrac{y}{x}}$
Questão 2. Se $x^2y + e^y = e$, encontre o valor de $y''$ no ponto onde $x = 1$.
Solução
A primeira derivada $y'$ é dada por $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{- 2xy}{x^2 + e^y}$ e a segunda $y''$ por $\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{2y(x^2 - e^y)}{(x^2 + e^y)^2}$.
Para $x = 1$, encontramos $y \approx 0.70$ (achado na solução da equação $y + e^y = e$, que não é de solução trivial).
Substituindo esses valores na expressão da segunda derivada, encontramos:
$y''(x = 1, y = 0.7) \approx - 0.16$.
Questão 3. Quando o preço unitário de um produto é $p$ reais, a demanda é de $x$ centenas de unidades, em que $x^2 + 3px + p^2 = 79$. Qual é a taxa de variação da demanda com o tempo se o preço unitário é $\mathrm{R\$}$ 5,00 e está diminuindo à taxa de 30 centavos por mês?
Solução
Substituindo $p = 5$ na expressão dada, obtemos $x = -18$ ou $x = 3$. Como não faz sentido demanda negativa, temos:
$x = 3$, ou seja, para o preço de $R\$$ 5,00 a demanda do produto é de 300 unidades.Derivando a expressão implicitamente em relação ao tempo $t$:
$2x\dfrac{dx}{dt} + 3x\dfrac{dp}{dt} + 3p\dfrac{dx}{dt} + 2p\dfrac{dp}{dt} = 0$
Agrupando os termos
$(2x + 3p)\dfrac{dx}{dt} = (- 3x - 2p)\dfrac{dp}{dt}$.
Finalmente podemos expressar $\dfrac{dx}{dt}$ (taxa de variação da demanda em relação ao tempo) em termos do preço, da demanda e da taxa de variação do preço em relação ao tempo (dada no enunciado) como
$\dfrac{dx}{dt} = \left(\dfrac{-3x - 2p}{2x + 3p}\right)\dfrac{dp}{dt}$, onde sabemos que $p = 5$, $x = 3$ e $\dfrac{dp}{dt} = -0.30$ (preço diminui à taxa de 30 centavos/mês).
Logo: $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{-3(3) - 2(5)}{2(3) + 3(5)}(-0.30)$ $\fbox{$\dfrac{dx}{dt} \approx 0,27$}$, ou seja, a demanda estará aumentando à taxa de 27 unidades/mês para as condições dadas.