Questão 1. (3 pontos) Determine $f'(x)$ das seguintes funções:
(a) $f(x) = 3x^4 - x^3 + 2x^2 + x - 9$
(b) $f(x) = (x^4 + 8)(x^2 - x - 2)$
(c) $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 7}{x^6 + 3}$
(d) $f(x) = (6x^2 + x - 1)^{90}$
(e) $f(x) = e^{2x + 1}$
(f) $f(x) = \ln{(x^2 + 1)}$
Solução
(a) $f'(x) = 3x^4 - x^3 + 2x^2 + x - 9$
(b) $f(x) = (x^4 + 8)(x^2 - x - 2)$
(c) $f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 7}{x^6 + 3}$
(d) $f(x) = (6x^2 + x - 1)^{90}$
(e) $f(x) = e^{2x + 1}$
(f) $f(x) = \ln{(x^2 + 1)}$
Questão 3. (2 pontos) Os executivos de uma importadora de arroz determinam que a demanda dos consumidores é aproximadamente igual a: $$A(x) = \dfrac{5000}{x^2}$$ toneladas por semana, quando o preço for $x$ reais. Estima-se que daqui a $t$ semanas o preço do arroz será modelado por $x(t) = 0.02t^2 + 0.1t + 2$ reais por tonelada. Qual será a taxa de variação da demanda semanal daqui a 10 semanas?
Solução
Substituindo $p = 5$ na expressão dada, obtemos $x = -18$ ou $x = 3$. Como não faz sentido demanda negativa, temos:
$x = 3$, ou seja, para o preço de $R\$$ 5,00 a demanda do produto é de 300 unidades.Derivando a expressão implicitamente em relação ao tempo $t$:
$2x\dfrac{dx}{dt} + 3x\dfrac{dp}{dt} + 3p\dfrac{dx}{dt} + 2p\dfrac{dp}{dt} = 0$
Agrupando os termos
$(2x + 3p)\dfrac{dx}{dt} = (- 3x - 2p)\dfrac{dp}{dt}$.
Finalmente podemos expressar $\dfrac{dx}{dt}$ (taxa de variação da demanda em relação ao tempo) em termos do preço, da demanda e da taxa de variação do preço em relação ao tempo (dada no enunciado) como
$\dfrac{dx}{dt} = \left(\dfrac{-3x - 2p}{2x + 3p}\right)\dfrac{dp}{dt}$, onde sabemos que $p = 5$, $x = 3$ e $\dfrac{dp}{dt} = -0.30$ (preço diminui à taxa de 30 centavos/mês).
Logo: $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{-3(3) - 2(5)}{2(3) + 3(5)}(-0.30)$ $\fbox{$\dfrac{dx}{dt} \approx 0,27$}$, ou seja, a demanda estará aumentando à taxa de 27 unidades/mês para as condições dadas.
In [ ]: