In der Vorlesung haben wir das Gleichungssytem $Au = f$ für das Possion-Problem in 1D mit Dirichlet-Rändern durch eine Diskretisierung mit Hilfe von zentrierten Finiten Differenzen aufgestellt.
Ist $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $p\times r$-Matrix, so ist das Kronecker-Produkt $C = A \otimes B$ definiert als $$C = (a_{ij} \cdot B) =\begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}.$$
Ist das Kronecker-Produkt kommutativ?
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a.) $A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C $
b.) $AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D)$
c.) $\mathrm{Spur}(A \otimes B) = \mathrm{Spur}(A) \cdot \mathrm{Spur}(B)$
Ist $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $p\times r$-Matrix, so ist das Kronecker-Produkt $C = A \otimes B$ definiert als $$C = (a_{ij} \cdot B) =\begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}.$$
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a.) Sind $\{\lambda_i\}_{i=1..n}$ die Eigenwerte von $A$ und $\{\mu_j\}_{j=1..m}$ die Eigenwerte von $B$ dann gilt $\{\lambda_i \, \mu_j\}_{i=1..n \atop j=1..m} \mbox{sind die Eigenwerte von }\; A \otimes B$.
b.) Für die Spektralnorm gilt $\| A \otimes B \|_2 = \| A \|_2 \cdot \| B \|_2$.
c.) Sind $A,B$ invertierbar, so ist die Inverse $(A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}$.
Sei $H$ eine hermitsche Matrix, so definiert sich der zugehörige Rayleigh quotient als $$R_H(x) = \frac{x^*Hx}{x^*\cdot x}.$$
Sei $\mathcal{P}_1 = \{ A \in K^{N \times N} | a_{i,j} = a_{n-j+1,n-i+1} \}$ und $\mathcal{P}_2 = \{ A \in K^{N \times N} | JA = A^TJ \}$, mit $ J = (\delta_{i,n-j+1})_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ & \scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot^{\,\scriptstyle\cdot}} & \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}$.
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Wie muss $\mathcal{P}_1$ eingeschränkt werden, damit
Sei $A$ von der Gestalt $$A:=\begin{pmatrix} a_0&a_{n-1}&a_{n-2}&\ldots&a_1\\ a_1&a_0&a_{n-1}&\ldots&a_2\\ a_2&a_1&a_0&\ldots&a_3\\ &\ddots&\ddots&\ddots\\ a_{n-1}&a_{n-2}&a_{n-3}&\ldots&a_0\end{pmatrix}. $$
Sei $\{t_k\}_{-\infty}^{\infty}$ eine absolut summierbare Folge, d.h. $\sum_{k=-\infty}^{\infty}|t_k| < \infty$. Sei desweiteren $f(\lambda) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=-n}^{n}t_k e^{ik\lambda}$.
Wir nennen $f(\lambda)$ eine Funktion der Wiener Klasse.
Eine Matrix nennt man eine Toeplitz-Matrix falls die Werte auf der Hauptdiagonale und allen Nebendiagonalen konstant sind. Mithilfe einer Funktion der Wiener Klasse $f(\lambda)$ lässt sich die Klasse der Toeplitz-Matrizen $$ T_n(f) = \{\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} f(\lambda) e^{-i(k-j)\lambda} \mathrm{d}\lambda ; k,j = 0,1,\ldots,n-1\}$$ konstruiren.
Tipp: Nutzen Sie den Satz von Parseval für $x^* \cdot x$.
Wir definieren die Hilbert-Schmidt Norm einer Matrx $A \in K^{n \times n}$ als $$ |A| = \left( \frac{1}{n}\sum_{i = 0}^{n-1}\sum_{i = 0}^{n-1} |a_{i,j}|^2 \right).$$ Zeigen Sie
Überlegen Sie sich warum diese Norm, auch schwache Norm genannt wird.
Seien $\{A_n\}$ und $\{B_n\}$ Folgen von $n\times n$ Matrizen, welche beschränkt bzgl. der starken Norm sind: $$ \|A_n\|,\|B_n\| \leq M \le \infty, n=1,2,\ldots $$ und bzgl. der schwachen Norm konvergieren $$\lim_{n \to \infty} |A_n -B_n| = 0$$. Wir nennen diese Folgen asymptotisch äquivalent und notieren dies als $A_n \sim B_n$. Zeigen Sie nun für $\{A_n\}$ , $\{B_n\}$ und $\{C_n\}$, welche jeweils die Eigenwerte $\{\alpha_{n,i}\}$,$\{\beta_{n,i}\}$ und $\{\zeta_{n,i}\}$ haben, folgende Zusammenhänge.
Tipp: Nutzen Sie ohne Beweis, dass gilt $|GH|\leq \|G\| \cdot |H|$. Wer Lust hat kann es aber auch Beweisen.
Sei $f(\lambda):[0,2\pi]\mapsto C$ eine Funktion der Wiener Klasse und $\{t_k\}_{-s}^{s}$ die zugehörigen Fourier Koeffizienten. Wir nutzen diese Koeffizienten zur Konstruktion von
$$C_{n}(f)=\begin{pmatrix} t_0 & \ldots & t_{-s}& \mathbf{0}_m &t_{s} &\ldots & t_{1} \\ \vdots & & & \ddots& &\ddots & \vdots \\ t_{s} & & & & & & t_{s} \\ \mathbf{0}_m^T &\ddots & & t_0 & & \ddots& \mathbf{0}_m^T \\ t_{-s} & & & & & & t_{-s} \\ \vdots & \ddots & & \ddots& & & \vdots \\ t_{-1} & \ldots & t_{-s}& \mathbf{0}_m & t_s & \ldots & t_0 \end{pmatrix} \in K^{n \times n}, \mbox{mit}\; n > 2s+1.$$$C_n(f)$ ist zyklisch und besitzt die Eigenwerte $\{\psi_{n,j}\}$.
Tipp: Nutzen Sie für 3. den Satz von Weierstraß. Dieser besagt, dass für jede stetige Funktion $F:[a,b] \mapsto K$ eine Folge von Polynomen $\{p_n\}$ existiert, s.d. $$ \lim_{n \to \infty} p_n(x) =F(x) $$ gleichmäßig auf $[a,b]$ konvergiert.
Sein $f(\lambda):[0,2\pi]\mapsto C$ eine Funktion der Wiener Klasse und $\{t_k\}_{-s}^{s}$ die zugehörigen Fourier Koeffizienten. Wir nutzen diese Koeffizienten zur Konstruktion von
$$T_{n}(f)=\begin{pmatrix} t_0 & \ldots & t_{-s}& & & & \\ \vdots & & & \ddots & & & \\ t_{s} & & & & & & \\ &\ddots & & t_0 & & \ddots& \\ & & & & & & t_{-s} \\ & & & \ddots & & & \vdots \\ & & & & t_s & \ldots & t_0 \end{pmatrix} \in K^{n \times n}, \mbox{mit}\; n > 2s+1.$$Diese nennt man eine Band-Toeplitz-Matrix. Die Eigenwerte von $T_n(f)$ nennen wir $\{\tau_{n,k}\}$.
Tipp: Für zwei asymptotisch äquivalente Folgen von Matrizen $\{A_n\}$ und $\{B_n\}$, mit den Eigenwerten $\{\alpha_{n,i}\}$ und $\{\beta_{n,i}\}$, kann man $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (\alpha_{n,k}^s - \beta_{n,k}^s) = 0$$ zeigen, solange $s$ ein positiver integer ist. Diese Aussagen kann ohne Beweis verwendet werden.
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