Mehrgittermethoden

Übungsaufgaben

Robert Speck & Dieter Moser, Sommersemester 2016

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Über zyklische Matrizen (Teil 2)

Sei $f(\lambda):[0,2\pi]\mapsto C$ eine Funktion der Wiener Klasse und $\{t_k\}_{-s}^{s}$ die zugehörigen Fourier-Koeffizienten. Wir nutzen diese Koeffizienten zur Konstruktion von

$$C_{n}(f)=\begin{pmatrix} t_0 & \ldots & t_{-s}& \mathbf{0}_m &t_{s} &\ldots & t_{1} \\ \vdots & & & \ddots& &\ddots & \vdots \\ t_{s} & & & & & & t_{s} \\ \mathbf{0}_m^T &\ddots & & t_0 & & \ddots& \mathbf{0}_m^T \\ t_{-s} & & & & & & t_{-s} \\ \vdots & \ddots & & \ddots& & & \vdots \\ t_{-1} & \ldots & t_{-s}& \mathbf{0}_m & t_s & \ldots & t_0 \end{pmatrix} \in K^{n \times n}, \mbox{mit}\; n > 2s+1.$$

$C_n(f)$ ist zyklisch und besitzt die Eigenwerte $\{\psi_{n,j}\}$.

Zeigen Sie, dass für die Eigenwerte von $C_n(f)$ gilt $\psi_{n,j} = f(\frac{2 \pi j}{n})$.
Folgern Sie daraus, dass $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} \psi_{n,j}^s = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(\lambda)^s \mathrm{d}\lambda$$
Sei $C_n(f)$ hermitesch und $F$ eine stetige Funktion, definiert auf dem Bild von $f(\lambda)$. Zeigen Sie $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} F(\psi_{n,j}) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} F(f(\lambda)) \mathrm{d}\lambda$$

Tipp: Nutzen Sie für 3. den Satz von Weierstraß. Dieser besagt, dass für jede stetige Funktion $F:[a,b] \mapsto K$ eine Folge von Polynomen $\{p_n\}$ existiert, s.d. $$ \lim_{n \to \infty} p_n(x) =F(x) $$ gleichmäßig auf $[a,b]$ konvergiert.

Über Toeplitz Matrizen (Teil 2)

Sein $f(\lambda):[0,2\pi]\mapsto C$ eine Funktion der Wiener Klasse und $\{t_k\}_{-s}^{s}$ die zugehörigen Fourier Koeffizienten. Wir nutzen diese Koeffizienten zur Konstruktion von

$$T_{n}(f)=\begin{pmatrix} t_0 & \ldots & t_{-s}& & & & \\ \vdots & & & \ddots & & & \\ t_{s} & & & & & & \\ &\ddots & & t_0 & & \ddots& \\ & & & & & & t_{-s} \\ & & & \ddots & & & \vdots \\ & & & & t_s & \ldots & t_0 \end{pmatrix} \in K^{n \times n}, \mbox{mit}\; n > 2s+1.$$

Diese nennt man eine Band-Toeplitz-Matrix. Die Eigenwerte von $T_n(f)$ nennen wir $\{\tau_{n,k}\}$.

Zeigen Sie: $C_n(f) \sim T_n(f)$
Sei $f(\lambda)$ zusätzlich reell-wertig. Beweisen Sie, dass für ein stetiges $F:\mbox{Bild}(f)\mapsto K$ $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=0}^{n-1} F(\tau_{n,j}) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} F(f(\lambda)) \mathrm{d}\lambda$$gilt.
Es gelte nun zusätzlich $f(\lambda) >0$, zeigen Sie mithilfe eines geeigneten $F$, dass $$ \lim_{n \to \infty} \mbox{det}(T_n(f))^{1/n} =\lim_{n \to \infty} \mbox{det}(C_n(f))^{1/n}$$ gilt.

Tipp: Für zwei asymptotisch äquivalente Folgen von Matrizen $\{A_n\}$ und $\{B_n\}$, mit den Eigenwerten $\{\alpha_{n,i}\}$ und $\{\beta_{n,i}\}$, kann man $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} (\alpha_{n,k}^s - \beta_{n,k}^s) = 0$$ zeigen, solange $s$ ein positiver integer ist. Diese Aussagen kann ohne Beweis verwendet werden.