单位矩阵的行列式的值为1
$detI=1$
交换行列的行变号，交换一次变一次号
如果有两行相等，则行列式为零。
从$k$行中减去第$i$行的$l$倍，行列式不变。
proof:
$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\rightarrow{}\begin{vmatrix}a&b\\c-la&d-lb\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a&b\\-la&-lb\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}-l\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$
某一行全为零，则行列式为零。
上三角矩阵$U=\begin{vmatrix}d_1 & \star & \ldots & \star \\ 0 & d_2 & \ldots & \star \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & d_n \end{vmatrix}$
则 $detU=d_1d_2\ldots d_n$
当$A$为奇异矩阵时，$detA=0$,iff A可逆时候$detA \ne 0$
$det(AB)=det(A)det(B)$
$\Rightarrow detI=det(A^{-1}A)=det(A^{-1})det(A) \rightarrow det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$
$\Rightarrow det(A^2)=(det(A))^2$
$\Rightarrow det(2A)=2^ndet(A)$
$detA^T=detA$
对于矩阵$A$的的第$i$行和第$j$列数据而言
$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12} & \ldots & \underline{a_{1j}} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & \underline{a_{2j}} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \underline{\vdots} & \ddots & \vdots \\ \underline{a_{i1}} & \underline{a_{i2}} & \underline{\ldots} & \underline{a_{ij}} & \underline{\ldots} & \underline{a_{in}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \underline{\vdots} & \ddots & \vdots \\ a_{n1}&a_{n2} & \ldots & \underline{a_{nj}} &\ldots & a_{nn} \end{vmatrix}$
将其所在的行和所在的列的元素删除，即下划线部分的元素，形成的新的行列式M，那么矩阵A的第i行第j元素的行列式$C_{ij}=(-1)^{i+j}M$,而 $detA=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\ldots+a_{1n}C_{1n}$,当然也可以选择其他行展开。
$AC^T=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix} \begin{vmatrix}C_{11} & C_{21} & \ldots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \ldots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \ldots & C_{nn} \end{vmatrix}=detA I$
所以
$A^{-1}=\frac{1}{detA}C^T$
In [ ]: