Mehrgittermethoden

Übungsaufgaben

Robert Speck & Dieter Moser, Sommersemester 2016

Der FMG-Zyklus

Implementieren Sie entweder die rekursive oder die nicht-rekursive Version des FMG-Prediktors mit anschließenden V-Zyklen. Fügen Sie die Funktionalität in die MyMultigrid-Klasse ein. Stellen Sie die Entwicklung des Fehlers für das Poisson-Problem grafisch dar, indem Sie für jedes Level (z.B. nach der Grobgitter-Korrektur) den Fehler über die Freiheitsgrade plotten.

Vergleichen Sie den Fehler mit dem Diskretisierungsfehler des Laplace-Operators und mit dem Fehler von $k$ V-Zyklen.

Fourier Reihen

Sei $\{t_k\}_{-\infty}^{\infty}$ eine absolut summierbare Folge, d.h. $\sum_{k=-\infty}^{\infty}|t_k| < \infty$. Sei desweiteren $f(\lambda) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=-n}^{n}t_k e^{ik\lambda}$.

1. Zeigen Sie, dass $S_n(\lambda) = \sum_{k=-n}^{n}t_k e^{ik\lambda}$ gleichmässig gegen $f(\lambda)$ konvergiert.
2. Folgern Sie, dass $f(\lambda)$ Riemann-integrierbar und beschränkt auf $[0,2\pi]$ ist.
3. Finden Sie mithilfe der inversen Fouriertransformation eine Darstellung von $t_k$ unter Verwendung von $f(\lambda)$.

Wir nennen $f(\lambda)$ eine Funktion der Wiener Klasse.

Über Toeplitz-Matrizen (Teil 1)

Eine Matrix nennt man eine Toeplitz-Matrix falls die Werte auf der Hauptdiagonale und allen Nebendiagonalen konstant sind. Mithilfe einer Funktion der Wiener Klasse $f(\lambda)$ lässt sich die Klasse der Toeplitz-Matrizen $$ T_n(f) = \{\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} f(\lambda) e^{-i(k-j)\lambda} \mathrm{d}\lambda ; k,j = 0,1,\ldots,n-1\}$$ konstruieren.

1. Welches $f(\lambda)$ und $n$ generiert den zentrierte Finite-Differenzen-Operator 2. Ordnung des Laplace-Operators?
2. Zeigen Sie, dass $T_n(f(\lambda))$ genau dann hermitesch ist wenn $f(\lambda)$ eine reellwertige Funktion ist.
3. Sei $f(\lambda)$ reellwertig und begrenzt durch $m_f \leq f(\lambda) \leq M_f$. Beweisen Sie mithilfe des Rayleigh Koeffizienten, dass für die Eigenwerte $\tau_{n,k}$ von $T_n(f)$ gilt $m_f\leq\tau_{n,k}\leq M_f$.
4. Zeigen Sie für nicht-hermitesche $T_n(f)$, dass die Ungleichung $\| T_n(f) \| \leq M_{|f_r|}+M_{|f_i|} \leq 2 M_{|f|}$ gilt, wobei $f(\lambda) = f_r(\lambda) + i f_i(\lambda)$ mit den reellwertigen Funktionen $f_i,f_r$ aus der Wiener Klasse.

Tipp: Nutzen Sie den Satz von Parseval für $x^* \cdot x$.