Mehrgittermethoden

Übungsaufgaben

Robert Speck & Dieter Moser, Sommersemester 2016

Über die Hilbert-Schmidt Norm

Wir definieren die Hilbert-Schmidt Norm einer Matrix $A \in K^{n \times n}$ als $$ |A| = \left( \frac{1}{n}\sum_{i = 0}^{n-1}\sum_{i = 0}^{n-1} |a_{i,j}|^2 \right)^{1/2}.$$ Zeigen Sie

1. $|A| = \left( \frac{1}{n}\mbox{Spur}(A^*A) \right)^{1/2}$
2. $|A| = \left( \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\lambda_k\right)^{1/2}$, wobei $\lambda_k$ die Eigenwerte von $A^*A$ sind
3. $|A| \leq \|A\|$

Überlegen Sie sich, warum diese Norm auch schwache Norm genannt wird.

Über asymptotisch äquivalente Folgen von Matrizen

Seien $\{A_n\}$ und $\{B_n\}$ Folgen von $n\times n$ Matrizen, welche beschränkt bzgl. der starken Norm sind: $$ \|A_n\|,\|B_n\| \leq M < \infty, n=1,2,\ldots $$ und bzgl. der schwachen Norm konvergieren $$\lim_{n \to \infty} |A_n -B_n| = 0.$$ Wir nennen diese Folgen asymptotisch äquivalent und notieren dies als $A_n \sim B_n$. Zeigen Sie nun für $\{A_n\}$ , $\{B_n\}$ und $\{C_n\}$, welche jeweils die Eigenwerte $\{\alpha_{n,i}\}$,$\{\beta_{n,i}\}$ und $\{\zeta_{n,i}\}$ haben, folgende Zusammenhänge.

1. Wenn $A_n \sim B_n$, dann $\lim_{n \to \infty} |A_n| = \lim_{n \to \infty} |B_n| $
2. Wenn $A_n \sim B_n$ und $B_n \sim C_n$, dann $A_n \sim C_n$
3. Wenn $A_nB_n \sim C_n$ und $\|A_n^{-1}\|\leq K \le \infty$, dann gilt $B_n \sim A_n^{-1}C_n$
4. Wenn $A_n \sim B_n$, dann existieren $-\infty \le m,M\le \infty$, so dass $m\leq \alpha_{n,i}, \beta_{n,i}\leq M$ für alle $n\geq 1$ und $k\geq 0$

Tipp: Nutzen Sie ohne Beweis, dass gilt $|GH|\leq \|G\| \cdot |H|$. Wer Lust hat, kann es aber auch gerne beweisen.