Inverzna funkcija

Za injektivno funkcijo $f(x)$ je inverzna funkcija funkcija $f^{-1}(x)$, za katero velja $$f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=.x$$

Trditve

Če je $y=f^{-1}(x)$, potem je $y$ rešitev enačbe $$f(y)=x.$$

Primer

Poišči inverzno funkcijo za funkcijo $$f(x)=\frac{2x+2}{x-1}.$$

Rešitev

Uporabimo knjižnico sympy in iz enačbe $f(y)=x$ izrazimo y.



In [1]:

    
import sympy
from sympy import Eq,solve
from sympy.abc import x,y
sympy.init_printing()



In [2]:

    
f = lambda x: (2*x+2)/(x-1)
enacba = Eq(f(y),x)
enacba









    Out[2]:





$$\frac{2 y + 2}{y - 1} = x$$



In [3]:

    
resitve = solve(enacba,y) # izrazimo y
resitve









    Out[3]:





$$\left [ \frac{x + 2}{x - 2}\right ]$$



In [4]:

    
invf = sympy.lambdify(x,resitve[0])
Eq(y,invf(x))









    Out[4]:





$$y = \frac{x + 2}{x - 2}$$

Narišimo še grafe funkcij. Uporabimo lahko funkcijo plot iz knjižnice matplotlib.



In [5]:

    
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

t  = np.linspace(-8,8,200) 
fig, ax = plt.subplots()
plt.plot(t,f(t),'.',label="$f(x)$")
plt.plot(t,invf(t),'.',label="$f^{-1}(x)$")
plt.plot(t,t,'k',label="$y=x$")
ax.axis("equal")
plt.ylim(-5,5)
ax.legend(loc=2)
# set the x-spine (see below for more info on `set_position`)
ax.spines['left'].set_position('zero')

# turn off the right spine/ticks
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.yaxis.tick_left()

# set the y-spine
ax.spines['bottom'].set_position('zero')

# turn off the top spine/ticks
ax.spines['top'].set_color('none')
ax.xaxis.tick_bottom()

Primer

Iz grafa funkcije $2^x$ odčitaj vrednost $\log_2(3)$.



In [6]:

    
t = np.linspace(0,2)
plt.plot(t,2**t,label="$y=2^x$")
plt.plot(t,3+np.zeros(t.shape),label="$y=3$")
plt.grid()
plt.legend()
plt.title(" $y=3$ prenemo na graf funkcije in odčitamo $x$")









    Out[6]:





<matplotlib.text.Text at 0x7fde9ffa0198>

Vrednost $\log_2(3)$ je rešitev enačbe $3=e^x$ in je približno enaka $1.6$.



In [7]:

    
np.log(3)/np.log(2)









    Out[7]:





$$1.58496250072$$

<< nazaj: funkcije naprej: bisekcija >>



In [8]:

    
import disqus
%reload_ext disqus
%disqus matpy