Zvezne funkcije

Limita funkcije

Zanima nas obnašanje vrednosti funkcije v bližini dane točke $x_0$. Če za vsa zaporedja, ki konvergirajo k $x_0$, zaporedja funkcijskih vrednosti konvergirajo k isti vrednosti $a$ $$\lim_{n\to\infty} x_n = x_0\implies \lim_{n\to\infty}f(x_n) = a, $$ to vrednost imenujemo limita funkcije v $x_0$. Limito funkcije v $x_0$ označimo kot $$a = \lim_{x\to x_0}f(x).$$

Leva in desna limita funkcije

Če za vsa zaporedja $x_n<x_0$, ki konvergirajo k $x_0$, zaporedja funkcijskih vrednosti konvergirajo k isti vrednosti $a$ to vrednost imenujemo leva limita funkcije v $x_0$. Limito funkcije v $x_0$ označimo kot $$\lim_{x\to {x_0}^-}f(x).$$ Podobno definiramo desno limito in jo označimo z $$\lim_{x\to {x_0}^+}f(x).$$

Zvezne funkcije

Funkcija $f$ je zvezna v $x_0$, če obstaja limita in je enaka vrednosti funkcije $$f(x_0) = \lim_{x\to x_0} f(x).$$

Trditve

Osnovne operacije ohranjajo zveznost (skoraj vedno):
- vsota in produkt zveznih funkcij je zvezna funkcija
- kvocient $f(x)/g(x)$ zveznih funkcij je zvezna funkcija, razen v ničlah funkcije $g(x)$
- potenca $f(x)^{g(x)}$ zveznih funkcij je zvezna funkcija, razen če sta $f(x)=0$ in $g(x)=0$
Funkcija $f(x)$ je zvezna v $x_0$, če se leva in desna limita ujemata

Primer

Dano je funkcija $$f(x)= \begin{cases}2x+a,& x < 1\\ x^2-ax+b;& 1\le x\le 3\\ ax;& x>3\end{cases}$$

Določi $a$ in $b$ tako, da bo $f(x)$ zvezna povsod.



In [7]:

    
from sympy import *
init_printing()
x, a, b = Symbol('x'), Symbol('a'), Symbol('b')

f1 = lambda x: 2*x + a
f2 = lambda x: x**2 - a*x +b
f3 = lambda x: a*x

solve([f1(1)-f2(1), f2(3)-f3(3)], (a,b))









    Out[7]:





$$\left \{ a : \frac{5}{2}, \quad b : 6\right \}$$

Funkcija $f$ je setavljena iz 3 predpisov, ki so vsi zvezne funkcije. Funkcija $f$ je zvezna povsod, razen morda v točkah, kjer se predpisi stikajo. Torej v točkah $x_1=1$ in $x_2=3$. V teh točkah leva in desna limita obstajata in se ujemata z vrednostmi posameznih predpisov, preveriti moramo le, da sta enaki. Zato izenačimo $$\lim_{x\to x_1^-}f(x) = \lim_{x\to x_1^+}\implies 2x+a = x^2-ax+b\big\vert_{x=1}\implies 2+a = 1-a+b$$ $$\lim_{x\to x_2^-}f(x) = \lim_{x\to x_2^+}\implies x^2-ax+b = ax\big\vert_{x=3}\implies 9-3a+b = 3a$$ in rešimo sistem enačb $$2+a = 1 -a +b$$ $$9-3y+b = 3a$$



In [18]:

    
%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np



In [21]:

    
a, b = 1, 2
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

# Move left y-axis and bottim x-axis to centre, passing through (0,0)
ax.spines['left'].set_position('center')
ax.spines['bottom'].set_position('center')

# Eliminate upper and right axes
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')

# Show ticks in the left and lower axes only
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')

x1 = np.linspace(-1, 1)
x2 = np.linspace(1, 3)
x3 = np.linspace(3, 5)
plt.plot(x1, f1(x1))
plt.plot(x2, f2(x2))
plt.plot(x3, f3(x3))
plt.show()



In [22]:

    
a, b = 5/2, 6
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)

# Move left y-axis and bottim x-axis to centre, passing through (0,0)
ax.spines['left'].set_position('center')
ax.spines['bottom'].set_position('center')

# Eliminate upper and right axes
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')

# Show ticks in the left and lower axes only
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')

x1 = np.linspace(-1, 1)
x2 = np.linspace(1, 3)
x3 = np.linspace(3, 5)
plt.plot(x1, f1(x1))
plt.plot(x2, f2(x2))
plt.plot(x3, f3(x3))
plt.show()



In [8]:

    
import disqus
%reload_ext disqus
%disqus matpy



In [ ]: