Übungsblatt 2: Kleinste Quadrate

• Aufgabe 1
• Aufgabe 2

---

Aufgabe 1

Betrachten Sie $y_k, k=1,2,\dots,10$ Poisson-verteilte Messwerte um die Erwartungswerte $\mu_k = a\cdot k$. Der Parameter $a$ soll mit der Methode der kleinsten Quadrate geschätzt werden. Betrachten Sie dazu die folgenden $\chi^2$-Funktionen:

$$\chi^2 = \sum_{k=1}^{10} w_k (y_k - ak)^2 \quad\text{mit}\quad w_k\in \left\{1, \frac{1}{y_k}, \frac{1}{ak}, \frac{1}{k}, \frac{1}{a_{n-1}k} \right\}$$

1.1

Bestimmen Sie analytisch die Schätzwerte $\hat{a}$ als Funktion der $y_k$, welche die entsprechenden $\chi^2$-Funktion minimieren.

---

---

1.2

Bestimmen Sie mittels Monte Carlo die Verteilungen der verschiedenen Schätzwerte $\hat{a}$.

---

---

Aufgabe 2

Betrachten Sie ein Histogramm mit 10 Bins im Bereich $[0,1]$. Generieren Sie eine Poisson-verteilte Zufallszahl $N$ mit Mittelwert $\langle N\rangle = 400$, und füllen Sie das Histogramm mit $N$ Zufallszahlen die Sie gemäß

$$x = \frac{1}{2}\left(\sqrt{1 + 8z} - 1\right)$$

erzeugen, wobei $z$ gleichverteilt im Intervall $[0, 1]$ ist. Die Theorie sagt voraus, dass $x$ gemäß einer Wahrscheinlichkeitsdichte

$$ \rho(x) = \frac{1 + \alpha x}{1 + \alpha/2}$$

verteilt ist.

---

---

Bestimmen sie mit der Methode der kleinsten Quadrate einen Schätzwert für $\alpha$. Nehmen Sie dazu an, dass die Anzahl der Einträge in jedem Bin Poisson-verteilt um ihren Erwartungswert streut. Beschreiben Sie die Daten durch eine lineare Funktion $y = a_0 + a1_x$, bestimmen Sie $a_0$ und $a_1$ und deren Kovarianzmatrix, und berechnen Sie daraus $\alpha(a_0, a_1)$ sowie dessen Unsicherheit. Gehen Sie beim Fit folgendermassen vor:

• Berechnen Sie die erwartete Zahl von Einträgen für alle Bins.
• Benutzen Sie diese zur Formulierung der $\chi^2$-Funktion.
• Minimieren Sie diese iterativ. Verwenden Sie im ersten Schritt für alle Bins konstante Gewichte $w_k = 1$, und danach als Gewicht $w_k = 1/V_k$, wobei $V_k$ die mit den Parametern aus dem vorhergehenden Fit abgeschätzte Varianz im Bin $k$ ist.

---

---

Wiederholen Sie die Fits mit unabhängigen Datensätzen und bestimmen Sie die Verteilung von $\alpha$. Variieren Sie die Methode, indem Sie den Fit nicht iterieren oder andere Gewichtsfunktionen benutzen.

---