Eine experimentelle Verteilung in den Variablen $(x, m)$ habe eine Signalkomponente $s(x, m)$ = $s(x)s(m)$ und eine Untergrundkomponente $b(x,m)$ = $b(x)b(m)$. Der erlaubte Bereich ist $0 < x < 1$ und $0 < m < 1$. Es sei $s(m)$ eine Gaussverteilung mit Mittelwert $\mu = 0.5$ und Standardabweichung $\sigma = 0.05$. Die Verteilungen der anderen Komponenten werden aus gleichverteilten Zufallzahlen $z$ gewonnen. Für $s(x)$ verwende man $x = −0.2\ln{z}$, für $b(m)$ verwende man $m = \sqrt{z}$ und für $b(x)$ die Transformation $x = 1 − \sqrt{z}$.
Erzeugen Sie für zwei angenommene Effizienzfunktionen
Datensätze von Paaren $(x, m)$ die 20000 akzeptierte Signalereignisse und 100000 akzeptierte Untergrundereignisse umfassen. Betrachten Sie nun die gemeinsame $m$-Verteilung und parametrisieren Sie diese durch
\begin{equation} f(m) = s(m) + b(m) \end{equation}mit
\begin{equation} s(m) = p_0 \exp\left(-\frac{(m - p_1)^2}{2p_p^2}\right) \end{equation}und
\begin{equation} b(m) = p_3 + p_4m + p_5m^2 + p_6\sqrt{m} \,. \end{equation}Für den Fall $\varepsilon(x, m) = (x + m)/2$ benutzen Sie die obige Parametrisierung auch zur Beschreibung der $m_c$ und $m_{cc}$-Verteilungen, für die jeder $m$-Wert mit $1/\varepsilon(x, m)$, bzw. $1/\varepsilon^2(x, m)$ gewichtet wird, und die für die korrekte Behandlung von nicht-konstanten Effizienzen benötigt werden.
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Bestimmen Sie für $\varepsilon(x, m) = (x + m)/2$ unter Berücksichtigung der Funktion $\varepsilon(x, m)$ in der Bestimmung von $w(m)$ die korrekten sWeights aus den mit $1/\varepsilon(x, m)$ gewichteten Daten. Verwenden Sie die korrekten sWeights um mit $w(m)/\varepsilon(x, m)$ um die Verteilung $N_{s}s(x)$ zu extrahieren.
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