Monte-Carlo-Methode

Xiaoqian Liao, 170025

Jena, den 11.04.2017

(Diese Hausaufgaben wurden aus Python und Jupyter gemacht.)

Aufgabe 1.1:



In [1]:

    
import random
print("Eine Zufallszahl r =", random.random())









    



Eine Zufallszahl r = 0.33979175938415573



In [10]:

    
print("Eine Floge von Zufallszahlen ist")
for i in range(10):
    print(random.random())









    



Eine Floge von Zufallszahlen ist
0.6358625001694316
0.025064282216509803
0.6472258374984756
0.09978927902229129
0.4436198918192179
0.06997211332219433
0.38359835708107304
0.15599178113925982
0.3279717190161444
0.46956068083488145



In [4]:

    
print("Falls 'seed' festgesetzt worden ist, wird die erste Zufallszahl wegen der Algorithmen des bestimmten Generators festgestellt.")
random.seed(100)
random.random()









    



Falls 'seed' festgesetzt worden ist, wird die erste Zufallszahl wegen der Algorithmen des bestimmten Generators festgestellt.






    Out[4]:





0.1456692551041303



In [5]:

    
random.seed(100)
random.random()









    Out[5]:





0.1456692551041303



In [6]:

    
random.random()









    Out[6]:





0.45492700451402135

Aufgabe 1.2:

Eine Folge von Zufallszahlen $r_{i}$ sollte zwei Eigenschaften haben:

Gleichverteilung oder Gleichförmigkeit, d.h. alle Zufallszahlen sind gleichverteilt oder alle Zufallszahlen haben die gleiche Wahrscheinlichkeit, aufzutreten.
Unabhängigkeit, d.h. der aktuelle Wert (bzw. die Zufallszahl) einer Zufallsvariablen hat keine Beziehung zu den vorherigen Werten (vorherige Zufallszahl).

Aufgabe 1.3:



In [8]:

    
import random
import matplotlib.pyplot as plt


def randSeq(length=500,s=12345):
   random.seed(s)
   return [random.random() for i in range(length)]

def test(n=500, l=5):
   rSeq = randSeq(length = n)
   points = zip(rSeq[0::2],rSeq[l::2])
   plt.figure(figsize=(20,10))
   plt.subplot(2,1,1)
   plt.title("A Random Sequence")
   plt.plot(rSeq)
   plt.subplot(2,1,2)
   plt.title("Scatter Plot")
   plt.scatter(*zip(*points))
   plt.tight_layout()
   plt.show()

test()

Aufgabe 1.4:

Setze $X\sim U(-1,1)$
Setze $Y=X^2$

Dann die zwei Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sind unkorreliert aber nicht unabhängig.

Offensichtlich, $Y$ ist abhängig von $X$. Sei $X$ Uniformverteilt, dann die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von $X$ ist $p(x)=\frac{1}{2}$, und $EX=0$. $EXY=E(X^3)=0$, dann $Cov(X,Y)=EXY-EXEY=0$. So dass $X$ und $Y$ ist unkorreliert.