Übungsblatt 4: MCMC

• Aufgabe 1
• Aufgabe 2

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Aufgabe 1

Erzeugen Sie Paare von Zufallszahlen (x, y) die gemäß der zweidimensionalen Dichte

\begin{equation} f(x, y) \propto \exp\left(-((x-2)x + y^2)/10\right)\cdot\sin^2(x\cdot y + x) \end{equation}

verteilt sind. Bestimmen Sie daraus die Verteilung $\rho(r)$ mit $r^2 = x^2 + y^2$.

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Aufgabe 2

Ein Experiment beobachtet $n$ Ereignisse. Die Nachweiswahrscheinlichkeit für ein Ereignis sei $ε$. Die wahre Anzahl ist Poisson-verteilt mit einem Mittelwert $μ$, der eine Funktion zweier Theorieparameter $a$ und $b$ ist, $μ = a^b$. Aus Kalibrationsmessungen ist bekannt dass $ε$ Gauss-verteilt ist mit $ε = 0.75 \pm 0.05$. Vom Parameter $b$ ist bekannt dass er nahe bei $b = 1$ liegt. Für ihn wird eine gleichförmige Verteilung im Bereich $0.9 < b < 1.1$ angenommen. Der Parameter $a$ muss positiv sein. Verwenden Sie bayes’sche Statistik und MCMC, und bestimmen Sie für $n = 1$ und $n = 10$ die posterior Verteilung von $a$ nach Integration über die Nuissance-Parameter $ε$ und $b$.

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