Übungsblatt 1: Fehlerrechnung

Aufgabe 1
Aufgabe 2
Aufgabe 3



In [ ]:

    
%matplotlib inline
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('ggplot')

Aufgabe 1

Gegeben sei eine parametrische Funktion $y = f(x)$, $y = 1 + a_1x + a_2x^2$ mit Parametern $a_1 = 2.0 ± 0.2$, $a_2 = 1.0 ± 0.1$ und Korrelationskoeffizient $ρ = −0.8$.



In [ ]:

    
a1, a1_err = 2.0, 0.2
a2, a2_err = 1.0, 0.1
rho = -0.8

1.1

Geben Sie die Kovarianzmatrix von $a_1$ und $a_2$ an.



In [ ]:

1.2

Bestimmen Sie analytisch die Unsicherheit von $y$ als Funktion von $x$:



In [ ]:

1.2.1

unter Vernachlässigung der Korrelation



In [ ]:

1.2.2

mit Berücksichtigung der Korrelation



In [ ]:

1.3

Bestimmen Sie per Monte Carlo die Unsicherheit von $y$ als Funktion von $x$:

1.3.1

Generieren Sie Wertepaare $(a_1, a_2)$ gemäß ihrer Kovarianzmatrix und visualisieren Sie diese, z.B. mit einem Scatter-Plot.

Hinweis: Wenn $x_1$ und $x_2$ zwei gaussverteilte Zufallszahlen mit Mittelwert null und Varianz eins sind, erhält man ein Paar korrelierter gaussverteilter Zufallszahlen $(y_1, y_2)$ mit Mittelwert null und Varianz eins durch $(y_1 = x_1; y_2 = x_1ρ + x_2\sqrt{1 − \rho^2})$.



In [ ]:

1.3.2

Bestimmen Sie die Verteilung von $y$ für $x = \{−1, 0, +1\}$ und vergleichen Sie Mittelwert und Varianz (Standardabweichung) mit den Resultaten der analytischen Rechnung.



In [ ]:

Aufgabe 2

Betrachten Sie folgende Reparametrisierung von $y = f(x)$:

$$y = 1 + \frac{x(1+x)}{b_1} + \frac{x(1-x)}{b_2}$$

2.1

Bestimmen Sie analytisch die transformierten Parameter $b_1$ und $b_2$ und deren Kovarianzmatrix



In [ ]:

2.2

Bestimmen Sie die Kovarianzmatrix der transformierten Parameter per Monte Carlo



In [ ]:

2.3

Bestimmen Sie analytisch die Unsicherheit von $y$ als Funktion von $x$:



In [ ]:

2.3.1

unter Verwendung der analytisch bestimmten Kovarianzmatrix von $(b_1, b_2)$



In [ ]:

2.3.2

unter Verwendung der numerisch bestimmten Kovarianzmatrix von $(b_1, b_2)$



In [ ]:

Aufgabe 3

Lösen Sie die obigen Teilaufgaben für $y = f(x)$ mit

$$y = \ln\left(1 + a_1x + a_2x^2\right) \quad \text{bzw.} \quad y = \ln\left(1 + \frac{x(1+x)}{b_1} + \frac{x(x-1)}{b_2}\right)$$



In [ ]: