5 特征值和特征向量

5.1 定义

矩阵$A$,向量$x$和标量$\lambda$满足： $Ax=\lambda x$
则称$\lambda$为特征值(eigen value)，$x$为特征向量（eigen vector）

性质 ：

• 如果$Ax=0$有非零解，则拥有特征值$\lambda=0$
• 对于$n\times n$矩阵，将会有$n$个特征值，其中特征值之和与对角线元素之和相等，$\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$

5.2 求解特征值和特征向量

$Ax=\lambda x \space \Rightarrow (A - \lambda I)x=0$
若使方程有解，则矩阵$(A-\lambda I)$必定奇异，则$det(A-\lambda I)=0$，称方程为特征方程(characteries equation)

推论：

• 如果$Ax=\lambda x$ ,则$(A+3I)x=\lambda x+3x=(\lambda+3)x$
• 特征值可能会出现复数，并且成共轭出现
• 存在重复特征值

5.3 对角化矩阵

5.3.1 对角化

有矩阵$A$,其特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$,其对应的特征向量为$x_1,x_2,\ldots,x_n$,并且各个特征向量线性无关，将特征向量按照列向量组成矩阵$S=\Bigg[x_1x_2\ldots x_n\Bigg]$,则$$S^{-1}AS=\Lambda$$,其中$\Lambda=\begin{vmatrix}\lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \end{vmatrix}$

证明
$AS=\Bigg[(\lambda_1x_1)(\lambda_2x_2)\ldots(\lambda_3x_3)\Bigg]$ 按照右乘向量相当于对列进行操作，则
$AS=\Bigg[x_1x_2\ldots x_3\Bigg]\begin{vmatrix}\lambda_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda_n \end{vmatrix} = S\Lambda $
所以
$S^{-1}AS=\Lambda$

5.3.2 幂次方

因为 $A^kx=A^{k-1}Ax=A^{k-1}\lambda x=\lambda ^k x \Rightarrow \lambda^k$是矩阵$A^k$的特征值，但特征向量与$A$相同，均为$x$。所以$$A^k=S^{-1}\Lambda ^k S$$
如果特征向量组成的矩阵可逆，还可以这样表达：$A=S\Lambda^{-1}S^{-1},A^k=S\Lambda^kS^{-1}$