Ejercicio 4 Practica 1

Para cada uno de los siguientes sistemas encontrar todos los puntos de equilibrio y determinar el tipo de cada punto de equilibio aislado.

$$\left{ \begin{array}{lcc}

     \dot{x}_{1}=-x_{1}+x_{2}\\
      \\ \dot{x}_{2}=\frac{x_{1}}{10}-2x_{1}-x_{1}^{2}-\frac{x_{1}^{3}}{10}
      \end{array}

\right.$$



In [8]:

    
import sympy as sym



In [10]:

    
#Con esto las salidas van a ser en LaTeX
sym.init_printing(use_latex=True)



In [20]:

    
x_1, x_2 = sym.symbols('x_1 x_2')



In [21]:

    
X = sym.Matrix([x_1, x_2])
X









    Out[21]:





$$\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right]$$



In [23]:

    
f_1 = -x_1 + x_2



In [24]:

    
f_2 = sym.Rational(1,10) * x_1 - 2 * x_2 - x_1 ** 2 - sym.Rational(1,10) * x_1 ** 3



In [25]:

    
F = sym.Matrix([f_1,f_2])



In [26]:

    
F









    Out[26]:





$$\left[\begin{matrix}- x_{1} + x_{2}\\- \frac{x_{1}^{3}}{10} - x_{1}^{2} + \frac{x_{1}}{10} - 2 x_{2}\end{matrix}\right]$$



In [72]:

    
A = F.jacobian(X)
A









    Out[72]:





$$\left[\begin{matrix}-1 & 1\\- \frac{3 x_{1}^{2}}{10} - 2 x_{1} + \frac{1}{10} & -2\end{matrix}\right]$$



In [51]:

    
# puntos de equilibrio del sistema
pes = sym.solve([f_1,f_2])
pes









    Out[51]:





$$\begin{bmatrix}\begin{Bmatrix}x_{1} : 0, & x_{2} : 0\end{Bmatrix}, & \begin{Bmatrix}x_{1} : -5 - \sqrt{6}, & x_{2} : -5 - \sqrt{6}\end{Bmatrix}, & \begin{Bmatrix}x_{1} : -5 + \sqrt{6}, & x_{2} : -5 + \sqrt{6}\end{Bmatrix}\end{bmatrix}$$



In [54]:

    
type(pes[0])









    Out[54]:





dict



In [53]:

    
A_1 = A.subs(pes[0])
A_1









    Out[53]:





$$\left[\begin{matrix}-1 & 1\\\frac{1}{10} & -2\end{matrix}\right]$$



In [70]:

    
A_1.eigenvals()









    Out[70]:





$$\begin{Bmatrix}- \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{35}}{10} : 1, & - \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{35}}{10} : 1\end{Bmatrix}$$



In [73]:

    
A_2 = A.subs(pes[1])
A_2









    Out[73]:





$$\left[\begin{matrix}-1 & 1\\- \frac{3}{10} \left(-5 - \sqrt{6}\right)^{2} + 2 \sqrt{6} + \frac{101}{10} & -2\end{matrix}\right]$$



In [90]:

    
lambda_2 = A_2.eigenvals()
lambda_2









    Out[90]:





$$\begin{Bmatrix}- \frac{3}{2} - \frac{1}{10} \sqrt{- 100 \sqrt{6} + 105} : 1, & - \frac{3}{2} + \frac{1}{10} \sqrt{- 100 \sqrt{6} + 105} : 1\end{Bmatrix}$$



In [92]:

    
sym.N(lambda_2.keys()[0])









    Out[92]:





$$-1.5 + 1.18300031394044 i$$



In [93]:

    
sym.N(lambda_2.keys()[1])









    Out[93]:





$$-1.5 - 1.18300031394044 i$$



In [94]:

    
A_3 = A.subs(pes[2])
A_3









    Out[94]:





$$\left[\begin{matrix}-1 & 1\\- 2 \sqrt{6} - \frac{3}{10} \left(-5 + \sqrt{6}\right)^{2} + \frac{101}{10} & -2\end{matrix}\right]$$



In [96]:

    
lambda_3 = A_3.eigenvals()
lambda_3









    Out[96]:





$$\begin{Bmatrix}- \frac{3}{2} + \frac{1}{10} \sqrt{105 + 100 \sqrt{6}} : 1, & - \frac{1}{10} \sqrt{105 + 100 \sqrt{6}} - \frac{3}{2} : 1\end{Bmatrix}$$



In [97]:

    
sym.N(lambda_3.keys()[0])









    Out[97]:





$$0.370692316438804$$



In [98]:

    
sym.N(lambda_3.keys()[1])









    Out[98]:





$$-3.3706923164388$$



In [ ]: