En este notebook vamos a ver conceptos básicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
La estructura de esta presentación está basada en http://nbviewer.ipython.org/github/mbakker7/exploratory_computing_with_python/blob/master/notebook_adv2/py_exp_comp_adv2_sol.ipynb
In [1]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
Un ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales puede ser el siguiente
$ \begin{split} a_{11} x_1 + a_{12} x_2+ a_{13}x_3 = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2+ a_{23} x_3 = b_2 \\ a_{31} x_1 + a_{32} x_2+ a_{33} x_3 = b_3 \\ \end{split} $
que puede ser escrito de manera matricial como $Ax = b$, donde la solución se puede escribir como $x=A^{-1}b$. Esto motiva el desarrollo de métodos para encontrar la inversa de una matriz.
In [2]:
#usando numpy se pueden resolver sistemas de este tipo.
A = np.array([[4.0,3.0,-2.0],[1.0,2.0,1.0],[-3.0,3.0,2.0]])
b = np.array([[3.0],[2.0],[1.0]])
b = np.array([[3.0],[2.0],[1.0]])
sol = np.linalg.solve(A,b)
print(A)
print(b)
print("sol",sol)
print(np.dot(A,sol))
#la inversa se puede encontrar como
Ainv = np.linalg.inv(A)
print("Ainv")
print(Ainv)
print("A * Ainv")
print(np.dot(A,Ainv))
Tenemos ahora el ejemplo siguiente. Tenemos tres puntos en el plano (x,y) y queremos encontrar la parábola que pasa por esos tres puntos. La ecuación de la parábola es $y=ax^2+bx+c$, si tenemos tres puntos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ podemos definir el siguiente sistema de ecuaciones lineales.
$ \begin{split} x_1^2a+x_1b+c&=y_1 \\ x_2^2a+x_2b+c&=y_2 \\ x_3^2a+x_3b+c&=y_3 \\ \end{split} $
Que en notación matricial se ven así
$ \left( \begin{array}{ccc} x_1^2 & x_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\b \\c \\ \end{array}
\left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \end{array} \right) $
Vamos a resolver este sistema lineal, asumiendo que los tres puntos son: $(x_1,y_1)=(-2,2)$, $(x_2,y_2)=(1,-1)$, $(x_3,y_3)=(4,4)$
In [3]:
#primero construimos las matrices A y b
xp = np.array([-2, 1,4])
yp = np.array([ 2,-1,4])
A = np.zeros((3,3))
b = np.zeros(3)
for i in range(3):
A[i] = xp[i]**2, xp[i], 1 # Store one row at a time
b[i] = yp[i]
print 'Array A: '
print A
print 'b: ',b
In [4]:
#ahora resolvemos el sistema lineal y graficamos la solucion
sol = np.linalg.solve(A,b)
print 'solution is: ', sol
print 'A dot sol: ', np.dot(A,sol)
plt.plot([-2,1,4], [2,-1,4], 'ro')
x = np.linspace(-3,5,100)
y = sol[0]*x**2 + sol[1]*x + sol[2]
plt.plot(x,y,'b')
Out[4]:
Tomemos las mediciones de una cantidad $y$ a diferentes tiempos $t$: $(t_0,y_0)=(0,3)$, $(t_1,y_1)=(0.25,1)$, $(t_2,y_2)=(0.5,-3)$, $(t_3,y_3)=(0.75,1)$. Estas medidas son parte de una función periódica que se puede escribir como
$y = a\cos(\pi t) + b\cos(2\pi t) + c\cos(3\pi t) + d\cos(4\pi t)$
donde $a$, $b$, $c$, and $d$ son parámetros. Construya un sistema de ecuaciones lineales y encuentre el valor de estos parámetros. Verifique su respuesta haciendo una gráfica.
Volvamos por un momento al ejercicio de la parábola. Que pasaría si en realidad tuviéramos 10 mediciones? En ese caso la matriz $A$ sería de 10 por 3 y no podríamos encontrar una inversa. Aún así es interesante el problema de encontrar los parámetros de la parábola a partir de las mediciones. Aunque en este caso tenemos que olvidarnos de que la parábola pase por todos los puntos experimentales porque en general no lo va a hacer.
Para este caso tenemos que definir un criterio para decir que los parámetros son los mejores. Un posible criterio es que la suma de los cuadrados entre la curva teórica y los datos sea mínima. ¿Cómo podemos entonces encontrar una solución para este caso?
Cambiando un poco la notación pensemos que tenemos un vector $d$ de datos, un vector $m$ con los parámetros del modelo que queremos encontrar y una matriz $G$ que resume la información sobre el modelo que queremos utilizar para explicar los datos. De esta manera el problema se podría escribir como
$G m = d$
Donde $G$ en general no es invertible. Pero usando el criterio de mínimos cuadrados vamos a tener que el vector $m$ en realidad puede ser estimado por un vector $\hat{m}$ que cumple la siguiente condición
$G^T G \hat{m} = G^{T}d$
donde $T$ indica la transpuesta. Si ahora escribimos $G^{T}G=A$, $\hat{m}=x$ y $G^{T}d=b$ volvemos al problema del principio y podemos encontrar fácilmente a $\hat{m}$
Los datos siguientes https://raw.githubusercontent.com/ComputoCienciasUniandes/MetodosComputacionales/master/hands_on/lin_algebra/movimiento.dat Representan una coordenada temporal y una coordenada espacial de un movimiento unidimensional en un campo gravitacional. Encuentre el mejor valor posible de la posición inicial, velocidad inicial y gravedad. Verifique que sus valores son razonables con una gráfica.
In [5]:
data = np.loadtxt("movimiento.dat")
plt.scatter(data[:,0], data[:,1])
Out[5]:
In [ ]: