Practica 1 Ejercicio 6

El sistema:

$$\left\{ \begin{array}{lcc} \dot{x}_{1}=-x_{1}-\frac{x_{2}}{ln(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}})} \\ \\ \dot{x}_{2}=-x_{2}+\frac{x_{1}}{ln(\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}})} \end{array} \right.$$

tiene un punto de equilibrio en el origen.

a) Linealizar el sistema alrededor del origen y determinar el tipo de equilibrio
b) Obtener el retrato de fase del sistema no lineal cerca del origen transformando las ecuaciones a coordenadas polares y mostrar que es semejante a un foco estable
c) Explicar la discrepancia entre los resultados obtenidos en a) y b)



In [1]:

    
import sympy as sym



In [2]:

    
#Con esto las salidas van a ser en LaTeX
sym.init_printing(use_latex=True)



In [3]:

    
x_1, x_2 = sym.symbols('x_1 x_2')



In [4]:

    
X = sym.Matrix([x_1, x_2])
X









    Out[4]:





$$\left[\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right]$$



In [18]:

    
f_1 = -x_1 - (x_2) / (sym.ln(sym.sqrt(x_1 ** 2 + x_2 ** 2)))
f_1









    Out[18]:





$$- x_{1} - \frac{x_{2}}{\log{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}}$$



In [19]:

    
f_2 = -x_2 + (x_1) / (sym.ln(sym.sqrt(x_1 ** 2 + x_2 ** 2)))
f_2









    Out[19]:





$$\frac{x_{1}}{\log{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}} - x_{2}$$



In [20]:

    
F = sym.Matrix([f_1,f_2])
F









    Out[20]:





$$\left[\begin{matrix}- x_{1} - \frac{x_{2}}{\log{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}}\\\frac{x_{1}}{\log{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}} - x_{2}\end{matrix}\right]$$



In [21]:

    
A = F.jacobian(X)
#A.simplify()
A









    Out[21]:





$$\left[\begin{matrix}\frac{x_{1} x_{2}}{\left(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\right) \log^{2}{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}} - 1 & \frac{x_{2}^{2}}{\left(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\right) \log^{2}{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}} - \frac{1}{\log{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}}\\- \frac{x_{1}^{2}}{\left(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\right) \log^{2}{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}} + \frac{1}{\log{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}} & - \frac{x_{1} x_{2}}{\left(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\right) \log^{2}{\left (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right )}} - 1\end{matrix}\right]$$



In [22]:

    
A_1 = A.subs({x_1:0,x_2:0})
A_1









    Out[22]:





$$\left[\begin{matrix}-1 & 0\\0 & -1\end{matrix}\right]$$



In [23]:

    
A_1.eigenvals()









    Out[23]:





$$\begin{Bmatrix}-1 : 2\end{Bmatrix}$$



In [ ]: