Profesor: Dr. Alina Tibaldi
Alumnos:
Franco Bellomo @fnbellomo
Lucas Bellomo @ucaomo
Colaborador: Lic. Manuel Otero.
La evolución térmica de una zona caliente, como resultado de la transferencia de calor y masas, se calcula utilizando la ecuación de balance de calor:
\begin{equation}\dfrac{\partial T}{\partial t}=\kappa\nabla^{2}T-v\nabla T+\dfrac{A}{\rho C}\end{equation}\begin{equation} A\left(z\right)=A_{0}e^{-\tfrac{z}{L}} \end{equation}En donde tenemos, que el primero es de difusion de calor, luego uno de transporte de matéria y por ultimo el calor gerenrado por la radiación de las piedras (producción volumétrica de calor). Notar que $T$ es una función de 4 variable $T=T(x,y,z,t)$.
Los terminos de la ecuación son: \begin{cases} Temperatura & \left[T\right]=K\\ Difusion\: t\acute{e}rmica & \left[\kappa\right]=\tfrac{m^{2}}{s}\\ Tiempo & \left[t\right]=s\\ Densidad & \left[\rho\right]=\tfrac{Kg}{m^{3}}\\ Producci\acute{o}n\: vol.\: calor & \left[A\right]=\tfrac{W}{m^{3}}\\ Calor\: espec\acute{\imath}fico & \left[C\right]=\tfrac{J}{KgK}\\ Velocidad\: del\; medio & \left[v\right]=\tfrac{m}{s}\\ Longitud\: caracter\acute{\imath}stica & \left[L\right]=m\\ A_{0} & \left[A_{0}\right]=\tfrac{W}{m^{3}} \end{cases}
Para nuestros primeros modelos, vamos a suponer que no existe desplazamiento de masas ($v=0$) y vamos a consideras una sola dimención ($z$). Luego, la ecuación nos queda:
\begin{equation}\dfrac{\partial T}{\partial t}=\kappa\dfrac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}} + \dfrac{A_{0}e^{-\tfrac{z}{L}}}{\rho C}\end{equation}Imaginemos un gráfico espacio-tiempo, donde en la coordenada vertical tiene el avance en el tiempo por ej, de $t_{n}$ a $t_{n+1}$ y donde la coordenada horizontal representa avanze en el espacio: es decir punto consecutivos del espacio discretizado $z_{i-1}$, $z_{i}$ y $z_{i+1}$. Esto nos crea una grilla donde cada punto tiene un indice espacial y otro temporal:
\begin{matrix} t^{n+1} & \rightarrow & \bullet && \bullet && \bullet \\ t^n & \rightarrow & \bullet && \bullet && \bullet \\ & & z_{i-1} && z_i && z_{i+1} \end{matrix}Para la solución numérica de $T(z, t)$, vamos a adoptar la convencion de que todos los subindices van a denotar espacio (el indice $i$ para el gráfico de abajo), miestra que los supraindices van a denotar tiempo (el indice $n$).
\begin{matrix} & &\bullet & & \bullet & & \bullet \\ & &T^{n+1}_{i-1} & & T^{n+1}_i & & T^{n+1}_{i+1} \\ & &\bullet & & \bullet & & \bullet \\ & &T^n_{i-1} & & T^n_i & & T^n_{i+1} \\ & &\bullet & & \bullet & & \bullet \\ & &T^{n-1}_{i-1} & & T^{n-1}_i & & T^{n-1}_{i+1} \\ \end{matrix}Es decir, que de la grilla de discretización obtenemos que: $$ z_{i} = i\Delta z \qquad t^{n}=n\Delta t $$ $$ T_{i}^{n} = T(z_{i}, t^{n}) = T(i\Delta z, n\Delta t) $$
Por ahora, solo vamos a considerar una discretización x-espaciada en ambas direcciones.
Vamos ahora a discretizar nuestro modelo. De la definición de derivada, olvidandonos del límite, y tomando un $\Delta t$ suficientemente chico nos queda:
\begin{equation} \dfrac{\partial T}{\partial t}=\dfrac{T_{i}^{n+1}-T_{i}^{n}}{\Delta t} \end{equation}Para discretizar las derivadas de 2do orden, consideremos la expanción de Taylor en los puntos $T_{i-1}$ y $T_{i+1}$:
\begin{equation} T_{i+1}=T_{i}+\Delta x \left.\dfrac{\partial T}{\partial z}\right|_{i}+\dfrac{\Delta z^{2}}{2}\left.\dfrac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}\right|_{i}+\dfrac{\Delta z^{3}}{3}\left.\dfrac{\partial^{3}T}{\partial z^{3}}\right|_{i}+O\left(\Delta z^{4}\right) \end{equation}\begin{equation} T_{i-1}=T_{i}-\Delta z\left.\dfrac{\partial T}{\partial z}\right|_{i}+\dfrac{\Delta z^{2}}{2}\left.\dfrac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}\right|_{i}-\dfrac{\Delta z^{3}}{3}\left.\dfrac{\partial^{3}T}{\partial z^{3}}\right|_{i}+O\left(\Delta z^{4}\right) \end{equation}Sumando estos dos terminos obtenemos:
\begin{equation} T_{i+1}+T_{i-1}=2T_{i}+\Delta z^{2}\left.\dfrac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}\right|_{i}+O\left(\Delta z^{4}\right) \end{equation}De donde podemos despejar:
\begin{equation} \dfrac{T_{i+1}-2T_{i}+T_{i-1}}{\Delta z^{2}}+O\left(\Delta z^{4}\right)=\left.\dfrac{\partial^{2}T}{\partial z^{2}}\right|_{i} \end{equation}Ahora, podemos reemplazar la ecuación (3) por la (4) y la (8). Luego, obtenemos que:
\begin{equation} \dfrac{T_{i}^{n+1}-T_{i}^{n}}{\Delta t} = \kappa \dfrac{T_{i+1}-2T_{i}+T_{i-1}}{\Delta z^{2}}+ \dfrac{A_{0}e^{-\tfrac{z}{L}}}{\rho C} \end{equation}
In [2]:
#Este asombroso css es trabajo de @LorenaABarba
from IPython.core.display import HTML
css_file = './style/css/IPython_personal_style.css'
HTML(open(css_file, "r").read())
Out[2]: