Neenačbe

Podobno kot enačb, se tudi neenačb lotimo s knjižnico Sympy. Bolj konkretno z modulom solvers.inequalities.



In [1]:

    
import sympy as sym
sym.init_printing() # lepši izpis formul

Primeri

Reši neenačbo \begin{equation} x^2-2\ge x \end{equation}

Za neenačbe z eno neznanko uporabimo splošno funkcijo solve_univariate_inequality, ki prepozna tip neeenačbe in uporabi primerno metodo. Ko definiramo spremenljivko x, posebej označimo, da gre za realno število.



In [10]:

    
from sympy.solvers.inequalities import solve_univariate_inequality
from sympy import Symbol

x = Symbol('x', real=True) #  x simbol, ki je realno število
neenacba = x**2 -2 >= x
solve_univariate_inequality(neenacba,x)









    Out[10]:





$$\left(2 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -1 \wedge -\infty < x\right)$$

Če želimo rešitev v obliki intervalov, ukazu solve_univariate_inequality dodamo parameter relational=False.



In [11]:

    
solve_univariate_inequality(neenacba, x, relational=False) # rešitev neenačbe v obliki intervala









    Out[11]:





$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$



In [57]:

    
# grafična rešitev
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
t = np.linspace(-3,3) # zaporedje x-ov, v katerih bomo tabelirali funkcijo
leva_f = sym.lambdify(x,neenacba.lhs)
desna_f = sym.lambdify(x,neenacba.rhs)
plt.plot(t,leva_f(t))
plt.plot(t,desna_f(t))
plt.title("Rešitev neenačbe sta intervala, kjer je modra črta nad zeleno")
plt.plot([-3,-1],[-3.9,-3.9],'ro-')
plt.plot([2,3],[-3.9,-3.9],'ro-')
plt.show()

Neenačba z absolutno vrednostjo

Funkcija solve_univariate_inequality nima težav niti z enačbami z absolutno vrednostjo. Poglejmo si rešitev enačbe \begin{equation} \left|x^2-2\right|\ge x \end{equation}



In [50]:

    
nen2 = abs(x**2 -2) >= x
solve_univariate_inequality(nen2, x, relational=False)









    Out[50]:





$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$



In [78]:

    
# grafična rešitev
leva_f = sym.lambdify(x,nen2.lhs)
t = np.linspace(-3,3) # zaporedje x-ov, v katerih bomo tabelirali funkcijo
plt.plot(t,[leva_f(ti) for ti in t])
plt.plot(t,sym.lambdify(x,nen2.rhs)(t))
plt.title("Rešitev neenačbe sta intervala, kjer je modra črta nad zeleno")
plt.plot([-3,1],[-3.9,-3.9],'-or')
plt.plot([2,3],[-3.9,-3.9],'-or')
plt.show()



In [54]:

    
# Prav tako ni težav, če je več absolutnih vrednosti
solve_univariate_inequality(abs(x-1) <= 2*abs(x)-2, x, relational=False)









    Out[54]:





$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[1, \infty\right)$$



In [56]:

    
# težave se pojavijo, če so absolutne vrednosti gnezdene
solve_univariate_inequality(abs(x-1) <= abs(2*abs(x)-2), x, relational=False)









    



---------------------------------------------------------------------------
NotImplementedError                       Traceback (most recent call last)
<ipython-input-56-0c43f1a8780f> in <module>()
      1 # težave se pojavijo, če so enačbe gnezdene
----> 2 solve_univariate_inequality(abs(x-1) <= abs(2*abs(x)-2), x, relational=False)

/usr/local/lib/python3.4/dist-packages/sympy/solvers/inequalities.py in solve_univariate_inequality(expr, gen, relational)
    389     from sympy.solvers.solvers import solve
    390 
--> 391     solns = solve(expr.lhs - expr.rhs, gen)
    392     oo = S.Infinity
    393 

/usr/local/lib/python3.4/dist-packages/sympy/solvers/solvers.py in solve(f, *symbols, **flags)
    907     ###########################################################################
    908     if bare_f:
--> 909         solution = _solve(f[0], *symbols, **flags)
    910     else:
    911         solution = _solve_system(f, symbols, **flags)

/usr/local/lib/python3.4/dist-packages/sympy/solvers/solvers.py in _solve(f, *symbols, **flags)
   1167         result = set()
   1168         for n, (expr, cond) in enumerate(f.args):
-> 1169             candidates = _solve(expr, *symbols, **flags)
   1170 
   1171             for candidate in candidates:

/usr/local/lib/python3.4/dist-packages/sympy/solvers/solvers.py in _solve(f, *symbols, **flags)
   1167         result = set()
   1168         for n, (expr, cond) in enumerate(f.args):
-> 1169             candidates = _solve(expr, *symbols, **flags)
   1170 
   1171             for candidate in candidates:

/usr/local/lib/python3.4/dist-packages/sympy/solvers/solvers.py in _solve(f, *symbols, **flags)
   1412     if result is False:
   1413         raise NotImplementedError(msg +
-> 1414         "\nNo algorithms are implemented to solve equation %s" % f)
   1415 
   1416     if flags.get('simplify', True):

NotImplementedError: multiple generators [x, Abs(2*x - 2)]
No algorithms are implemented to solve equation x - Abs(2*x - 2) - 1

Neenačba s trigonometričnimi funkcijami

Poskusimo rešiti še enačbe s trigonometričnimi funkcijami \begin{equation} \cos(x)\le\frac{1}{2} \end{equation}



In [68]:

    
nen3 = sym.cos(x)<=1/2
nen3









    Out[68]:





$$\cos{\left (x \right )} \leq 0.5$$



In [69]:

    
solve_univariate_inequality(nen3,x,relational=False)









    Out[69]:





$$\left[1.0471975511966, 5.23598775598299\right)$$

Rešitev smo dobili v obliki decimalnih števil. Če želimo rešitev v obliki ulomkov, lahko uporabimo sympy.S ali sympy.Rational.



In [70]:

    
from sympy import S
nen3 = sym.cos(x)<= S(1)/2
nen3









    Out[70]:





$$\cos{\left (x \right )} \leq \frac{1}{2}$$



In [71]:

    
solve_univariate_inequality(nen3,x,relational=False)









    Out[71]:





$$\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$$



In [76]:

    
# grafična rešitev
t = np.linspace(0,7)
leva_f = sym.lambdify(x,nen3.lhs)
desna_f = sym.lambdify(x,nen3.rhs)
plt.plot(t,[leva_f(ti) for ti in t])
plt.plot(t,[desna_f(ti) for ti in t])
plt.title("Rešitev neenačbe je interval, kjer je modra črta pod zeleno")
plt.show()

Naloga

Simbolično in grafično rešite neenačbe:

$$ x^3-1>x;\quad\left|x+1\right| \le \left|2x-1\right|;\quad \sin(x)<\frac{\sqrt{3}}{2}\text{ na intervalu } [0,2\pi)$$

<< nazaj: enačbe ... naprej: kompleksna števila >>



In [1]:

    
import disqus
%reload_ext disqus
%disqus matpy