

In [1]:

    
from sympy import *
init_printing() #muestra símbolos más agradab
R=lambda n,d: Rational(n,d)



In [2]:

    
x,y,C=symbols('x,y,C')

Ejercicio 4:

$\textrm{a)}$ De mostrar que si $\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{xN-My}$ es una función radial entonces la ecuacion $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ tiene un factor integrante radial.

Supomgamos que $\mu(x,y)=\mu(x^2+y^2)$ como candidato a ser un factor integrante. Luego, tenemos que tener que $$ \frac{\partial (\mu(x^2+y^2) M(x,y))}{\partial y}= \frac{\partial (\mu(x^2+y^2) N(x,y))}{\partial x}, $$ o equivalentemente

$$ \mu'(x^2+y^2)M(x,y)2y+\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}\mu(x^2+y^2)= \mu'(x^2+y^2)N(x,y)2x+\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}\mu(x^2+y^2)$$

Luego,

$$ \mu'(x^2+y^2)=\frac{1}{2}\frac{\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}}{xN(x,y)-M(x,y)y} \mu(x^2+y^2)$$

Entonces si $g(x,y):=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{xN-My}$ es una función de $x^2+y^2$ (es decir radial) el factor integrante $\mu$ es tal que $\mu(z)=e^{\left(\frac{1}{2}\int h(z)dz\right)}=1/z$, donde $h(z)=g(x^2+y^2)$.



In [ ]:

$\textrm{b)}$ Resolver la ecuación $(y^3+x^2y)dx+(x^3+y^2x)dy=0$



In [3]:

    
# Observemos primero que la ecuacion no es exacta
M=y**3+x**2*y
N=x**3+y**2*x
M.diff(y)-N.diff(x)









    Out[3]:





$$- 2 x^{2} + 2 y^{2}$$



In [6]:

    
# Aplicamos el item a) para ver si se cumple la condicion para multiplicar por un factor integrante radial
M, N
((N.diff(x)-M.diff(y))/(y*M-x*N)).simplify()









    Out[6]:





$$- \frac{2}{x^{2} + y^{2}}$$

El factor integrante es $\mu(x^2+y^2)$, donde $\mu(z)=e^{\left(\frac{1}{2}\int -\frac{2}{z}dz\right)}=1/z$



In [8]:

    
# veamos ahora que la ecuación multiplicada por el factor integrante es exacta
MM=(x**2+y**2)**(-1)*M
NN=(x**2+y**2)**(-1)*N
((MM).diff(y)- (NN).diff(x)).factor()









    Out[8]:





$$0$$



In [10]:

    
# Resolvamos la ecuación. Encontremos $f$
f=integrate(MM,x) + integrate(NN-integrate(MM,x).diff(y),y) 
f









    Out[10]:





$$x y$$

Luego las soluciones son $xy=C$ donde $C\in \mathbb{R}$. Verifiqueoms esto



In [11]:

    
C=symbols('C')
((y**3+y*x**2)+(x**3+y**2*x)*(-C/x**2)).factor()









    Out[11]:





$$\frac{1}{x} \left(- C + x y\right) \left(x^{2} + y^{2}\right)$$

La expresión anterior es igual a $0$ porque $C=xy$.



In [ ]: