Ismerkedés a sympy modullal

Számos kereskedelmi (Mathematica, Maple) számítógépes algebrai csomag létezik már, melyek bonyolult analitikus formulamanipulációs készséggel rendelkeznek. A sympy csomag egy ingyenes Python-könyvtár, ami lassan használható alternatívát kínál kereskedelmi vetélytársaival szemben. Ebben a notebookban néhány sympy függvénnyel fogunk megismerkedni. Fontos megjegyezni hogy mivel van pár, a sympy függvényeihez hasonló nevű függvény a pylab parancs által importált modulokban, ezért a kellemetlenségek elkerülése végett célszerű mindig külön notebookot indítani a sympy-os problémák megoldásánál!



In [1]:

    
from sympy import * # a sympy csomag rutinjainak betöltése
init_printing()     # szép kimenet

Változók, egyenletek és egyenletrendszerek megoldása

Ahhoz, hogy változókat szimbolikusan is manipulálni tudjunk, meg kell mondanunk a Pythonnak, hogy ezentúl tekintsen a változónkra mint valamilyen matematikai formulában előforduló szimbólumra. Ezt a legegyszerűbben így tehetjük meg:



In [2]:

    
x=symbols('x')

Ezek után az $x$ változót használhatjuk szimbolikus számításokra. Oldjuk meg például a következő egyszerű egyenletet: $$3x=5$$ Ezt a solve függvény segítségével tehetjük meg. A solve függvény első bementete a megoldandó egyenlet 0-ra rendezve, a második pedig a keresett változó:



In [3]:

    
solve(3*x-5,x)









    Out[3]:





$$\left [ \frac{5}{3}\right ]$$

Definiáljunk náhány további változót is!



In [4]:

    
y,z,a,b,c=symbols('y,z,a,b,c') # Így definiálunk egyszerre több változót

Oldjuk meg most az $$a x+b=y$$ egyenletet $x$ -re!



In [5]:

    
solve(a*x+b-y,x)









    Out[5]:





$$\left [ \frac{1}{a} \left(- b + y\right)\right ]$$

Ha több megoldása is van az egyenletnek, akkor a sympy solve függvénye lehetőség szerint mind a kettőt megtalálja. Jól mutatja ezt a másodfokú egyenlet megoldásának "megtalálása":



In [6]:

    
solve(a*x**2+b*x+c,x)









    Out[6]:





$$\left [ \frac{1}{2 a} \left(- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right), \quad - \frac{1}{2 a} \left(b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}\right)\right ]$$

Természetesen a megoldás nem feltétlenül valós szám! A komplex egységgyököt a sympy I-vel jelöli:



In [7]:

    
I**2









    Out[7]:





$$-1$$

A solve függvényt egyenletrendszerek megoldására is lehet használni. Ilyenkor a nullára rendezett egyenleteket listába foglaljuk. A keresett változókat szintúgy. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert az $x$ és $y$ változókra: $$y=x^2+ax-4b$$ $$y=x-b$$ Mivel $x$-ben másodrendű az első egyenlet, ezért két megoldáspárt várunk (A parabola legfeljebb két helyen metszi az egyenest...)



In [8]:

    
solve([x**2 + a*x - y, x - y - b],[x,y]) # Így kell egyenletrendszert megoldani









    Out[8]:





$$\left [ \left ( - \frac{a}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} - 2 a - 4 b + 1} + \frac{1}{2}, \quad - \frac{a}{2} - b - \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} - 2 a - 4 b + 1} + \frac{1}{2}\right ), \quad \left ( - \frac{a}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} - 2 a - 4 b + 1} + \frac{1}{2}, \quad - \frac{a}{2} - b + \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} - 2 a - 4 b + 1} + \frac{1}{2}\right )\right ]$$

A solve függvény kimenete most egy lista, amelynek az elemei a megfelelő $(x,y)$ párok.

Függvényanalízis

A sympy egyik legnagyobb előnye, hogy a Python nyelven belül lehetővé teszi egyszerűbb analízisbeli feladatok elvégzését. Alább a teljesség igénye nélkül összefoglalunk néhány egyszerű függvényt. Vizsgáljuk meg a következő két határértéket: $$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=? $$ illetve $$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{1}{1+\mathrm{e}^{-x}}=? $$ A határértéket a limit függvény segítségével tudjuk meghatározni:



In [9]:

    
limit(sin(x)/x,x,0)# sin(x)/x határértéke az x=0 pontban.









    Out[9]:





$$1$$

Ha a végtelenben vagyunk kíváncsiak a határértékre, akkor azt az oo-szimbólummal tudjuk elérni!



In [10]:

    
limit(1/(1+exp(-x)),x,oo)









    Out[10]:





$$1$$

Egy kifejezés deriváltjait a diff függvény segítségével tudjuk meghatározni. Például a $\sin$ függvény első $x$-szerinti deriváltja:



In [11]:

    
diff(sin(x),x)









    Out[11]:





$$\cos{\left (x \right )}$$

A második deriváltat vagy így



In [12]:

    
diff(sin(x),x,x)









    Out[12]:





$$- \sin{\left (x \right )}$$

vagy így, (talán egy kicsit átláthatóbban) írjuk.



In [13]:

    
diff(sin(x),x,2)









    Out[13]:





$$- \sin{\left (x \right )}$$

Természetesen parciális deriváltak elvégzésére is van mód:



In [14]:

    
diff(sin(x)*cos(y),x,y)









    Out[14]:





$$- \sin{\left (y \right )} \cos{\left (x \right )}$$

A magasabb rendű parciális deriváltak legyártása az egyszerű deriváltak általánosításán alapszik:



In [15]:

    
diff(sin(x)*cos(y),x,2,y,3)









    Out[15]:





$$- \sin{\left (x \right )} \sin{\left (y \right )}$$

Az integrate függvény segítségével határozott és határozattlan integrálokat tudunk elvégezni.

Határozzuk meg először az $x^2$ primitív függvényét:



In [16]:

    
integrate(x**2,x)









    Out[16]:





$$\frac{x^{3}}{3}$$

Az $$\int_0^3 x^2\mathrm{d}x$$ határozott integrált pedig az alábbi módon értékelhetjük ki.



In [17]:

    
integrate(x**2,(x,0,3))









    Out[17]:





$$9$$

Természetesen az integrálás során szerepelhetnek a kifejezésben más paraméterek is:



In [18]:

    
integrate(x**2+y**3,(x,0,3))









    Out[18]:





$$3 y^{3} + 9$$

Többváltozós integrált egyszerűen a változók (és ha határozott integrálról van szó, akkor az integrálási határok) egymás után írásával értékelhetünk ki:

A $$\int x^2+y^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ határozatlan integrál:



In [19]:

    
integrate(x**2+y**3,x,y)









    Out[19]:





$$\frac{x^{3} y}{3} + \frac{x y^{4}}{4}$$

A $$\int_0^3\int_{-3}^{5} x^2+y^3 \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ határozott integrál:



In [20]:

    
integrate(x**2+y**3,(x,0,3),(y,-3,5))









    Out[20]:





$$480$$