1 Найдите интеграл $\int_{-\frac{\Pi}{2}}^\frac{\Pi}{2} \frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x + \cos^{2014}x}dx$

Решение

$\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$

$I = \int_{-\frac{\Pi}{2}}^\frac{\Pi}{2} \frac{\sin^{2014}x}{\sin^{2014}x + \cos^{2014}x} dx = $

$= \int_{-\frac{\Pi}{2}}^\frac{\Pi}{2} \frac{\sin^{2014}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin^{2014}(\frac{\pi}{2}-x) + \cos^{2014}(\frac{\pi}{2}-x)} dx = $

$= \int_{-\frac{\Pi}{2}}^\frac{\Pi}{2} \frac{\cos^{2014}x}{\sin^{2014}x + \cos^{2014}x} dx$

Тогда, $I + I = \int_{-\frac{\Pi}{2}}^\frac{\Pi}{2} dx = \pi$ и $I = \frac{\pi}{2}$.

Предполагаем, что $\sin^{2014}x + \cos^{2014}x \neq 0$ т.е. $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

2 Пусть функция $f$ непрерывна и ограничена на промежутке $(x_0,+\infty)$. Докажите, что для любого числа $T$ существует последовательность $\{ x_n \}$, стремящаяся к $+\infty$ и такая, что $f(x_n+T)-f(x_n) \to 0$, при $n \to \infty$

3 Найти предел $\lim_{\lambda \to 0+} \frac{1}{\ln \lambda} \int_{\lambda}^{a} \frac{\cos x}{x} dx$

4 Найдите минимум и максимум функции $f(x,y) = x^2+y^2-12x+16y$ на круге $x^2 + y^2 \leq 25$

5 Найдите сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$

6 Найдите предел последовательности $\{ c_n \}$, определяемой рекурентным соотношением $c_{n+1} = (1-\frac{1}{n})c_n + \beta_n$, где $\beta_n$ - любая последовательность со свойством $n^2 \beta_n \to 0$ при $n \to \infty$

7 Вычислите интеграл $\int e^{e^x + 2014x} dx$

8 Исследуйте на сходимость и абсолютную сходимость ряд: $\sum_{k=1}^{\infty} \sin(\pi\sqrt{n^2+1})$

9 Найдите предел последовательности $a_n$, для которой $a_0 = - \frac{1}{2}$, $a_{n+1} = \frac{a_n^2(a_n-3)}{4}$

10 Вычислите интеграл $\int_{\frac{1}{3}}^3 \frac{arctg x}{x^2-x+1} dx$

11 Решите уравнение $\lim_{n \to \infty} \cos nx =1$

12 Пусть $f : R^2 \to R$ - ограниченная гладкая функция, причем ее среднее значение на каждой окружности радиуса 1 равно значению в центре этой окружности. Докажите, что f постоянна.

13 Докажите, что из последовательности из $mn+1$ различных действительных чисел всегда можно выделить возрастающую подпоследовательность из $n+1$ числа или убывающую подпоследовательность из $m+1$ числа.

14 Исследуйте на сходимость ряд $\sum_{n=3}^{\infty} (\ln{\ln{n}})^{-\ln{n}}$

15 Существует ли непрерывная функция $f(x)$, для которой $f(f(x)) = 1 - x^3$?

16 Вычислите $\int_{0}^{2\pi} (\sin x)^8 dx$.

17 Найдите $\Pi_{k=1}^{\infty} \cos{(x2^{-k})}$

18 Найдите сумму ряда $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n(n+1)}$, где $f(n)$ - количество единиц в двоичном представлении числа n.

19 Вычислите сумму интегралов: $\int_{\sqrt{\pi / 6}}^{\sqrt{\pi / 3}} \sin{x^2} dx + \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} \sqrt{\arcsin x} dx$

Решение

Пусть $x = \sqrt{\arcsin{t}}$, тогда $\int_{\sqrt{\pi / 6}}^{\sqrt{\pi / 3}} \sin{x^2} dx = \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} t\ d\sqrt{\arcsin t}$

20 Пусть а - действительное число. Для каждого целого $n \geq 0$ обозначим через $a_n$ расстояние от a до ближайшего рационального числа вида $\frac{m}{2^n}$, где m - целое. Найдите наибольшую возможную сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$

22 Ниже приведен фрагмент графика гладкой функции $f(x)$. В скольких точках на отрезке $[0,4]$ выполняется равенство $f'(x) = 0$?

23 Посчитайте площадь, ограниченую кривой

$x = 12(t - \sin{t}),\ y=12(1-\cos{t}),\ 0\leq t \leq 2\pi$

и прямой

$y=0$.

Число $\pi$ стоит брать с 15 знаками после запятой.

24 Какие из этих рядов сходятся условно?

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3+2}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{3n-1}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n-1}}{\sqrt{n+1}}$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n^2+1)}{\ln{(n+1)}}$

25 Найти минимальный положительный корень уравнения $\sin{3x} = a,\ a>0$, если известно, что какие-то два из корней различаются на $\pi/4$

Имеем $\sin{3x} = a, \sin{3(x-\frac{\pi}{4})} = a, \sin{3x} \in (0,1], \sin3(x-\frac{\pi}{4}) \in (0,1]$.

Применив формулу разности синусов, получим $\cos(3x+\frac{3\pi}{8}) = 0$ или $x = \pi \frac{(8n-3)}{24}, n\in Z$, получим $x = \frac{5\pi}{24}$

26 Вещественные числа x и y удовлетворяют равенствами $x^3 + 3x^2 + 5x + 1 = 0$, $y^3 + 3y^2 + 5y + 5 = 0$. Найдите $x+y$.

1. Каждое уравнение имеет один действительный корень
2. Сделаем замену $x+1 = t, y+1 = z$ и просуммировав уравнения получим $(t+z)(t^2 + tz + z^2 +2) = 0$ или $t+z = 0$ или $x+y=2$.

27 Последовательность $\{ a_n \}_{n=0}^{\infty}$ определена рекурсивно. $a_0=1$,$a_{n+1} = \frac{a_n}{1+na_n}$. Найдите формулу общего члена последовательности.

Решение.

Пусть $b_n = \frac{1}{a_n}$, тогда $b_{n+1} = \frac{1+na_n}{a_n} = b_n + n$, $b_0 = \frac{1}{a_0} = 1$. Получаем $b_n = b_0 + 1 + 2 + \cdots + n-1 = 1 + \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n-1)+2}{2}$. Получаем $a_n = \frac{2}{n(n-1)+2}$.

28 $I_m = \int_{0}^{2\pi} \cos{(x)} \cos{(2x)} \cdots \cos{(mx)} dx$. Для каких $m \in [0,10],\ I_m \neq 0$?

Решение

Многократно используем формулу $\cos{(lx)} \cos{(nx)} = \frac{1}{2} (\cos{((l+n)x} + \cos{((l-n)x)})$:

$\cos{(x)} \cos{(2x)} \cdots \cos{(mx)} = \frac{1}{2^{m-1}} (\cos{(\alpha_1 x)} + \cdots + \cos(\alpha_{2^m}x)$, где $\alpha_i=1 \pm 2 \pm 3 \cdots \pm m \in Z$.

Несложно убедиться, что четности всех чисел $\alpha_i$ будут одинаковы. Более того, в случаях $m = 4k,\ m=4k+3$ все $\alpha_i$ четны. Если $\alpha_i \neq 0$, то $\int_0^{2\pi} \cos{(\alpha_i)} x dx = 0$.

Значить при $m = 4k+1,\ m=4k+2 \ I_m=0$. Если же $m=4k,\ m=4k+3$, то среди $\alpha_i$ обязательно есть ноль, так как между числами $1,2,\cdots,m$ можно так расставить знаки "+" и "-", чтобы получисля ноль. Действительно,

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+...+((4k-3)-(4k-2)-(4k-1)+4k) = 0,

(1-2-3)+(4-5-6-7+8)+...+((4k-3)-(4k-2)-(4k-1)+4k) = 0.

Таким образом, $m = \{4k,4k+3\}\ I_m = 0$.

Ответ: при m=0,3,4,7,8

29 Рассмотрим бесконечный двумерный массив $\forall (m,n):\ a_{mn} \leq mn$, состоящий из натуральных чисел, причем каждое число встречается ровно 8 раз. Докажите, что $\exists (m,n): a_{mn} > mn$.

Решение

Пусть, $\forall (m,n): a_{mn} \leq mn$. Выберем $k \in N$ и рассмотрим кривую на плоскости $y = k/x$. Если $i,j \in N$ и точка $(i,j)$ лежит под кривой $y = k/x$, то $a_{ij} \leq ij \leq i \frac{k}{i} = k$. Таким образом, количество целых точек под кривой $y = k/x$ должно быть не больше 8k. С другой стороны, количество целых точек под этой кривой не меньше чем $\int_2^{k} \frac{k}{x} dx = k \ln(x) |_{2}^{k} = k (\ln k - ln 2)$. Притдостаточно большом k это число больше 8k. Таким образом, мы получаем противоречие. Следовательно, найдется пара $(m,n)$ такая, что $a_{mn} > mn$.