Цель работы: исследовать физический и математический маятники как колебательные системы, измерить зависимость периода колебаний физического маятника от его момента инерции.
В работе используются: физический маятник (однородный стальной стержень), опорная призма, математический маятник, счётчик числа колебаний, линейка, секундомер.
Определения. Пусть маятник подвешен так, что его длина составляет $a$. Пусть он отклонился на угол $\phi$. У него есть угловая скорость $\omega = \frac{\delta \phi}{\delta t} $, которая постоянна для всех точек маятника в силу того, что он является абсолютно твердым телом (то есть расстояние между частицами тела не меняется с течением времени). Тогда скорость $i$-й частицы есть $v_i = \omega r_i$, где $r_i$ — расстояние от оси вращения до частицы. Напомним, что моментом инерции называется величина $ I = \sum_{i=1}^{N} m_i r_i^2$, где $N$ — количество рассматриваемых частиц тела. Тогда можно кинетическая энергия маятника есть $$ \sum_{i=1}^{N} \frac{m_i v_i^2}{f} = \frac{I\omega^2}{2}. $$
Вывод уравнения движения. Теперь можно найти полную энергию маятника в момент, когда он отклонился на угол $\varphi$. Она равна $E=\frac{I\omega^2}{2} + Mga\cdot(1-\cos\phi)$, где $M = \sum_{i=1}^{N}m_i$ — масса маятника. Ясно, что эта величина постоянна и не зависит от времни. Так что из равенства производной по времени нулю выводится уравнение $\phi'' + \omega_0^2 \sin\phi = 0 $, где $\omega_0 = \sqrt{\frac{Mga}{I}}$ — циклическая частота колебаний маятника. При малых углах (меньше 1 радиана) из разложения по Тейлору следует, что $ \sin\phi \approx \phi$, так что уравнение упрощается и получает решение вида $ \phi(t) = A\sin(\omega_0 t + \alpha)$, где $A$ — амплитуда. Можно разложить синус по Тейлору до второго члена, тогда получим $\phi'' + \omega_0^2 \phi \cdot(1 - \frac{\phi^2}{6}) = 0 $. Тогда можно считать, что $ \omega_0 $ зависит от $\phi$, и имеет место равенство $ \omega = \sqrt{\omega_0(\phi)} \approx \omega_0 \cdot (1 - \frac{\phi^2}{12})$.
Момент инерции. Далее, найдем момент инерции стержня относительно оси, проходящей через один из его концов перпендикулярно стержню. Он имеет вид $$ \int_0^l x^2 \mbox{d}m = \rho \int_0^l x^2 \mbox{d}x = \rho \frac{l^3}{3} = \frac{Ml^2}{3}, $$ где $l$ — длина маятника, $M$ — масса маятника, $\rho = \frac{M}{l}$ — плотность стержня. Тогда момент инерции маятника относительно центра масс есть $ 2 \cdot \frac{M}{2} \cdot \frac{l^2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{Ml^2}{12} $.
Теорема (Гюйгенса–Штейнера). Момент инерции $I$ относительно произвольной оси равен сумме момента инерции $I_0$ относительно оси, параллельной ей и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела $m$ на квадрат расстояния между осями $a$: $$I = I_0 + ma^2.$$
Доказательство. Пусть $I_0 = \sum m_i \rho_i^2$, $I = \sum m_i r_i^2$ и $r_i = a + \rho_i$. Знаем, что $ \sum m_i \rho_i = 0 $ векторно (по определению центра масс), тогда $$I = \sum m_i r_i^2 = \sum m_i a^2 + \sum m_i \rho_i^2 + 2 a \sum m_i \rho_i = I_0 + ma^2. $$
Затухание. Предположим, что в системе имеют место потери энергии за счет трения. Пусть это трение таково, что амплитуда уменьшается равномерно: за одно и то же время амплитуда $A(t)$ убывает в одно и то же число раз. Такую зависимость $A(t)$ можно представить в виде $A(t)=A_0 e^{-\gamma t}$, где величина 𝛾 имеет смысл обратного времени затухания амплитуды в $e$ раз и называется коэффициентом затухания.Затухающее колебание исследуемой величины является комбинацией медленного убывания амплитуды и гармонических колебаний: $\phi(t)=A_0 e^{-\gamma t} \sin(\omega t + \alpha) $. Нетрудно убедиться, что это есть решение (при $\gamma < \omega_0$) следующего дифференциального уравнения: $ \phi'' + 2\gamma \phi' + \omega_o^2 \phi = 0 $. Здесь $\omega_0$ — собственная частота системы без затухания, а $\omega^2 = \omega^2_0 - \gamma^2$ — частота свободных колебаний при затухании. Если затухание мало, то есть $\gamma ≪ \omega_0$, то различием частот $\omega$ и $\omega_0$ можно пренебречь: $\omega \approx \omega_0$.
Добротность системы. Понятие добротности определяется так: $ Q = \frac{\omega_0}{2\gamma} = \pi \frac{\tau_e}{T} $, где $\tau_e=\frac{1}{\gamma}$ — время убывания амплитуды колебаний $A$ в $e$ раз. Чем более добротной (чем больше $Q$) является колебательная система, тем больше колебаний она может совершить до их значительного затухания — например, число колебаний до затухания в $e$ раз равно $n_e = \frac{Q}{\pi}$.
In [1]:
import numpy as np
import scipy as ps
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
Обозначим через $l$ расстояние от точки подвеса до конца маятника, через $t$ — время, за которое маятник совершин $n=20$ колебаний, через $a$ расстояние от точки подвеса до центра масс маятника. Тогда можно вычислить период $T=\frac{t}{n}$ колебания маятника и построить график зависимости величины $aT^2$ от $a^2$.
In [2]:
table_1 = pd.read_excel('lab-1-3.xlsx', 'Table1')
table_1.head(len(table_1))
Out[2]:
Погрешности. Известно, что $ \Delta a = \Delta l = 0.001~м$, тогда $ \Delta a^2 = a^2 \cdot \varepsilon a^2 = a^2 \cdot 2 \varepsilon a = a^2 \cdot 2 \frac{\Delta a}{a} = 2a \Delta a $.
Пошрешность секундомера есть $ \Delta t = 0.5~с$. Тогда $ \Delta aT^2 = aT^2 \cdot ( \varepsilon a + 2 \varepsilon \frac{t}{n} ) = aT^2 \cdot ( \frac{\Delta a}{a} + 2 \varepsilon t ) = aT^2 \cdot( \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta t}{t} ) $.
In [3]:
x = table_1.values[:, 5] # a^2
y = table_1.values[:, 6] # a T^2
a = table_1.values[:, 4] # a
dx = 2 * a * 0.001
t = table_1.values[:, 1] # t
dy = y * (0.001 / a + 2 * 0.5 / t)
k, b = np.polyfit(x, y, deg=1)
k1, b1 = np.polyfit(x, y + dy * np.linspace(-1, 1, len(dy)), deg=1)
k2, b2 = np.polyfit(x, y - dy * np.linspace(-1, 1, len(dy)), deg=1)
In [4]:
plt.figure(figsize=(12, 8))
plt.grid(linestyle='--')
plt.title('Зависимость $aT^2 $ от $a^2$', fontweight='bold')
plt.xlabel('$a^2, \quad c^2$')
plt.ylabel('$aT^2, \quad м \cdot с^2$')
plt.scatter(x, y)
plt.plot(x, k * x + b)
plt.plot(x, k1 * x + b1, '--')
plt.plot(x, k2 * x + b2, '--')
plt.errorbar(x, y, xerr=dx, yerr=dy, fmt='o')
plt.show()
Как говорилось в теоретическом введении, $ T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^2 + \frac{l^2}{12}}{ag}} $, а значит, $$ aT^2 = \frac{4\pi^2}{g}a^2 + \frac{4\pi^2l^2}{12g}.$$ Мы имеем $ k = \frac{4\pi^2}{g} $ и $ b = \frac{4\pi^2l^2}{12g} $, откуда $$ g = \frac{4 \pi^2}{k}, \quad l = \frac{1}{\pi} \sqrt{3gb}. $$
Погрешности. Отсюда $ \Delta g = g \varepsilon \frac{4\pi^2}{k} = g \frac{\Delta k}{k} $, а, как известно, $ \Delta k = \frac{k_1-k_2}{2} $. Далее, $ \Delta l = l \cdot \frac{1}{2} \varepsilon(gb) = \frac{1}{2} l \cdot (\frac{\Delta g}{g} + \frac{b_2-b_1}{2b}) $.
In [7]:
g = 4 * np.pi ** 2 / k
l = np.sqrt(3 * g * b) / np.pi
dk = (k1 - k2) / 2
db = (b2 - b1) / 2
dg = g * dk / k
dl = 0.5 * l * (dg / g + db / b)
print(g, dg)
print(l, dl)
Таким образом, получено $g = 9.92 \pm 0.66~м \cdot с^2 $ и $ l = 1.01 \pm 0.05~м$.
Обозначим теперь через $l$ расстояние от точки подвеса до центра масс математического маятника, через $t$ время, за которое маятник совершил $n$ колебаний. Тогда по формуле $T =\frac{t}{n}$ можно найти период математического маятника и построить зависимость величины $T^2$ от $l$.
В каждом измерении изначальная амплитуда была $25~см$, а время и число колебаний измерялось до того момента, когда амплитуда уменьшилась примерно в $3 \approx e$ раз, то есть составляла чуть больше $9~см$.
In [8]:
table_2 = pd.read_excel('lab-1-3.xlsx', 'Table2')
table_2.head(len(table_2))
Out[8]:
Заметим, что при $l=0.6~м$ период $T=1.576912 \approx 1.5700~c$, который достигался при $a = 0.2~м$ для физического маятника. Приведенную длину физического маятника в этом случае вычисляется по формуле $$ l_{пр} = a + \frac{l^2}{12a}, $$ где $ l \approx 1.009~м$ — длина физического маятника, найденная в предыдущем пункте.
Погрешности. Знаем, что $\Delta l_{пр} = \Delta a + \frac{l^2}{12a} \cdot (2\frac{\Delta l}{l} + \frac{\Delta a}{a})$
In [9]:
a = 0.2
l_pr = a + l ** 2 / (12 * a)
dl_pr = 0.001 + l ** 2 / (12 * a ) * (2 * dl / l + 0.001 / a)
print(l_pr, dl_pr)
Таким образом, $l_{пр} = 0.62 \pm 0.05~м$.