1 На плоскости зафиксированы две точки $A$ и $B$ на расстоянии 2. Пусть $С$ - случайно выбранная точка круга радиуса $R$ с центром в середине отрезка $AB$. С какой вероятностью треугольник $ABC$ будет тупоугольным?

2 На окружности выбираются 3 случайные точки. С какой вероятностью центр окружности лежит внутри треугольника с вершинами в этих точках?

3 Игральную кость с $n$ гранями (и числами от 1 до $n$ на этих гранях) подбрасывают до тех пор, пока сумма выпавших очков не станет больше или равна n. Все грани кости выпадают с одинаковой вероятностью. Найдите математическое ожидание числа бросков.

4 Стержень длины L произвольным образом разламывают на две части и выбрасывают меньшую часть. Затем осташуюся часть ломают и снова выбрасывают меньшую часть. Найдите вероятность того, что длина осташейся части не меньше L/2.

5 Отрезок [0,1] разбит двумя случайными точками на три части. Найдите математическое ожидание длины меньшей из частей

6 Когда студент пришел в аудиторию, на доске было написано число 0. В ожидании лекции студент подкидывает монетку и, если выпадает орел, он прибавляет к числу 1, а если решка, то вычитает 1. Орел и решка выпадаютс равной вероятностью. Найдите вероятность того, что на момент после (2n+1)-го подбрасывания число на доске сменился знак (с положительного на отрицательный или наоборот) (а) ровно n раз (б) ни разу

7 Рассмотрим случайную перестановку $P=(p_1,p_2,...,p_n)$ натуральных чисел от 1 до n. Пару чисел (i,j) назовем "обменом", если выполняются соотношения $p_i = j$, $p_j=1$. Вычислите математическое ожидание количества обменов в перестановке P (перестановка выбирается случайно равновероятно из множества всех перестановок от 1 до n)

8 На окружности выбирают две случайные точки A и B. Найдите математическое ожидание площади меньшего из сегментов, на которые хорда AB разбирает круг.

9 На плоскости, однородно покрытой прямоугольниками со стороронами 10 и 20, рисуют случайную окружность радиуса 4. Найдите вероятность того, что окружность имеет общие точки ровно с тремя прямоугольниками

10 На плоскости нарисована ломанная с n звеньями. Длина каждого звена равна 1, ориентированный угол между соседними звеньями с равной вероятностью равен $\alpha$ или $-\alpha$. Найдите математическое ожидание квадрата расстояния от ее начальной точки до конечной.

11 В мишень, которая представляет собой прямоугольник размера $3 \times 2$, стреляют из пистолета. Известно, что отклонение пули от точки, на которую нацелен пистолет, произвольно, но не превышает 0,1 по любому направлению, параллельному сторонам прямоугольника. Стрелок целится в произвольную точку мишени. С какой вероятностью он попадет в мишень?

12 Робот движется по клеткам бесконечной шахматной доски. Один его шаг - перемещение на случайную из восьми соседних клеток. Найдите математическое ожидание модуля разности между количеством черных и количеством белых клеток, на которых робот побывал за n шагов (каждая клетка считается столько раз, сколько на ней побывал робот).

13 Случайные величины X и Y независимы. Плотность случайной величины X равно $p_{X} = \frac{t}{2} I_{[0,2]}(t)$ (где $I_{[0,2]}(t)$ - индикаторная функция отрезка [0,2]), а Y имеет равномерное распределение на отрезке [0,3]. Найдите вероятность, что из отрезков с длинами X, Y и 1 можно составить треугольник.

14 В ряд расположены m предметов. Случайно выбираются k предметов, k < m. Случайная величина X равна количеству таких предметов i, что i выбран, а все его соседи не выбраны. Найти математическое ожидание X.

15 Какую наибольшую дисперсию может иметь случайная величина, принимающая значения в отрезке от 0 до 1?

Решение.

$DX = M(X^2)- (MX)^2$, если $X \in [0,1]$, тогда $X^2 \leq X$ и $M(X^2) \leq MX = m$, тогда

$DX \leq m - m^2 = m(1-m)$

Таким образом, $\max{DX} = \frac{1}{2}$.

16 Рассмотрим случайную перестановку на n элементах. Докажите, что данные k элементов окажутся в одном цикле с вероятностью $\frac{1}{k}$.

Решение

Количество перестановок, в которых есть цикл, содержащий k элементов, равно $n!$.

Количество циклов длины m на множестве из m элементов равно $(m-1)!$.

Количество перестановок, где k элементов входят в цикл длины k+t равно $(n-k-t)!(k+t-1)C_{n-k}^t$.

Тогда, количество перестановок, включающие в себя k элементов:

$\sum_{t=0}^{n-k} (n-k-t)!(k+t-1)C_{n-k}^t = (n-k)!(k-1)!\sum_{t=0}^{n-k} C_{k+t-1}^t$

Можно показать,что $\sum_{t=0}^{m} C_{s+t}^t = C_{s+m+1}^m$.

В итоге: общее количество перестановок, содержащих цикл, включающий данные k элементов равно

$(n-k)!(k-1)! C_{(k-1)+(n-k)+1}^{n-k} = \frac{n!}{k}$.

17 На окружности случайно выбирается n точек. Найдите вероятность того, что все они принадлежат некоторой полуокружности.

18 Игра состоит из одинаковых и независимых конов, в каждом из которых выигрыш происходит с вероятностью p. Когда игрок выигрывает, он получает 1 доллар, а когда проигрывает - платит 1 доллар. Как только его капитал достигает величины N долларов, он объявляется победителем и удаляется из казино. Найдите вероятность того, что игрок рано или поздно проиграет все деньги, в зависимости от стартового капитала К.

19 Самым большим успехом пользуются 2 модели диванов: Венеция (42% процента покупателей), Атланта (35% покупателей). Из тех, кто выбирает Венецию, половина заказывает диван серого цвета, треть - синего, а остальные выбирают белый цвет. Из тех, кто выбирает модель Атланта, 80% выбирают синий цвет, а остальные - серый. Из тех кто покупает диван какой-нибудь другой модели, три четверти выбирают белый цвет, 20% - синий, остальный розовый.

Человек пришел в магазин и купил диван, с какой вероятностью от синий?

20 В автомобильном номере автобуса 6 цифр, причем первая отличная от нуля. Если в номере автобуса циры следуют в монотонном невозрастающем порядке, то автобус счастливый. С какой вероятностью встретися счастливый автобус?

21 Пусть случайная величина X имеет двумерное нормальное распределение с вектором всредних $\mu$ и ковариационной матрицей $\sum$

$X = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)$

$\mu = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -5 \end{array} \right)$

$\sum = \left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{array} \right)$

Пусть $y=3x_1 + 2x_2$. Найдите вероятность того, что $y>20$.

22 Дана функция random3, которая при вызове равновероятно возвращает одно из значений 1,2 или 3. Какова вероятность, что сумма значений n вызовов этой функции будет четна? Результаты возвращаемые функцией не зависят друг от друга. Ответ запишите для n=5 в виде десятичной дроби с четырьмя десятичными знаками после точки.

23 Даем множество $A = \{ 1,2,\cdots,n \}$. Среди всех его подмножеств равновероятно выбираем k его подмножеств $A_1,\cdots,A_k$. Найти вероятность того, что $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k$. Найти вероятность, что $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k = \emptyset$

Решение.

Рассмотрим элемент $i \in A$. Очевидно, подмножеств в A, содержащих i и не содержащих i, равное количество. Т.о. вероятность того, что i лежит в $A_j$ равна $\frac{1}{2}$. Эти вероятности независимы для разных j. Получаем, что вероятность того, что i содержится в $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k$ равсно $\frac{1}{2^k}$. Соответственно, вероятность того, что i не содержится в $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k$ равна $1 - \frac{1}{2^k}$. Эти вероятности независимы для разных i. Получается, что вероятность того, что ни один из номеров i не попал в $A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_k$ равна $(1 - \frac{1}{2^k})^n$.