Tenemos N puntos $(x_i, y_i)_{i=1\ldots n}$ que tienen un error de medicion asociado (experimento)
Objetivo: Encontrar una forma funcional que modele la dependencia entre $x$ e $y$.
$$ y(x) = y(x; a_1, a_2,\ldots, a_n) $$Donde $a_j$ son parametros del modelo.
Ademas de encontrar $\vec{a}_{\text{optimo}}$, queremos:
No se puede en general. Asumiremos:
Cuando $\sigma = $ const $\rightarrow$ homocedasticidad, si $\sigma \neq$ const $\rightarrow$ heterocedasticidad $$\chi^2 = \sum_{i=1}^N \frac{\left[y_i - y(x_i; \vec{a})\right]^2}{2\sigma_i^2} $$ $$\left(\frac{y_i-y(x_i; \vec{a})}{2\sigma_i}\right) \leadsto N(0,1)$$
Para cada $i$, el argumento de la sumatoria es $r\leadsto N(0,1)$
Por definicion la suma de $N$ variables aleatorias $r \leadsto N(0,1)$ se distribuye como $\chi^2_N$
Cuando hayamos fijado $a_{1,\ldots, N}$, los terminos en la sumatoria ya no son todos independientes, quedan atados por las M ecuacinoes de la minimizacion de $\chi^2$
$\implies$ Nos quedan $N-M$ grados de libertad.
Para evaluar la calidad del ajuste $$Q = P(> \chi^2)$$
Que pasa si los errores $\epsilon$, no son gaussianos?
Opcion: Si sabemos algo sobre los errores $\implies$ Monte Carlo
Podemos generar un set de datos sintetico: $$y'_i = y(x_i; \vec{a}_0) + r$$ En donde $r$ es una variable aleatoria que entendemos
Teoria Asimptotica muestra que $L = N(\text{ln}N)^2$ genera una "buena" aproximacion.