Ejercicio tomado de Parcial MMC
In [1]:
from IPython.display import Image,Latex
from numpy import array, cross,dot, sqrt
Si el tensor de esfuerzos en un punto $P$, en el sistema de referencia $X,Y,Z$ está definidido por:
$$\begin{align} \\ &\sigma_{xx} = 80\dfrac{kgf}{cm^2}; \;\;\; \sigma_{yy} = 50\dfrac{kgf}{cm^2}; \;\;\; \sigma_{zz} = 60\dfrac{kgf}{cm^2} \\\\ &\tau_{xy} = \tau_{yx} =40\dfrac{kgf}{cm^2}, \;\;\; \tau_{xz} = \tau_{zx} =30\dfrac{kgf}{cm^2}; \;\;\;\tau_{yz} = \tau_{zy} = 10 \dfrac{kgf}{cm^2}\\\\ \end{align}$$Y las coordenadas de los puntos $A$, $B$ y $C$ en el sitema de referencia $X,Y,Z$ son $(1,0,0)$ , $(0,2,0)$ y $(0,0,3)$ respectivamente. Se pide lo siguiente:
1._Calcular el vector de tracciones $\vec{t}$, que actua en una cara del punto $P$, que es paralela al plano que contiene los puntos $A$ , $B$ y $C \\\\$.
Solución:
El vector de tracciones está dado por $$\vec{t} = [\sigma]\; \hat{n}$$
Por este motivo se requiere encontrar $\hat{n}$, el cual para nuestro problema no es más que un vector perpendicular al plano formado por los puntos $A$, $B$, $C$.
Hagamos entonces una base con los vectores: $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ y $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$
In [2]:
AB = array([4.0,2.,0.]) - array([1., 0.,0.])
AC = array([0.,0.,3.]) - array([1., 0.,0.])
print 'AB=', AB, ',', 'AC=', AC
El vector unitarion $\hat{n}$ es entonces obtenido como $$ \vec{n} = \frac{\vec{AB} \times \vec{AC}}{\|\vec{AB} \times \vec{AC}\|} $$
In [3]:
Nor = cross(AB,AC)
MNor = sqrt(dot(Nor,Nor))
n = Nor / MNor
print 'Normal=',Nor, ',' 'Magnitud',MNor
Por otro lado, el tensor $[\sigma]$ sería
In [4]:
Sigma = ([[80., 40., 30.],
[40.,50., 10.],
[30., 10., 60.]])
Con esto, el vector de tracciones $\vec{t}$ sería entonces:
In [5]:
t = dot(Sigma,n)
print t.round(2)
2.Calcular el esfuerzo normal al que está sometida la cara del punto $P$, que es paralela al plano que contiene los puntos $A$ , $B$ y $C \\\\$.
Solución: El esfuerzo normal no es más que la proyección escalar de $\vec{t}$ sobre el vector normal unitario $\hat{n}$. Es otras palabras $\sigma_{nn} = {\vec{t} \cdot \hat{n}}$
In [6]:
Sigmann = dot(t,n)
print Sigmann.round(2)
3.Calcular la magnitud del esfuerzo tangencial al que está sometida la cara del punto $P$, que es paralela al plano que contiene los puntos $A$ , $B$ y $C \\\\$
Solución
Teniendo el vector $\vec{t}$ y su componente normal la componente normal $\sigma_{nn}$, la magnitud de la compenente tangencial $\tau$, se calcularía a partir de:
$\|\vec{t}\|^2 = \|\sigma_{nn}\|^2 + \|\tau\|^2$
Despejando $\tau$, se obtiene:
In [7]:
tau = sqrt(dot(t,t) - Sigmann**2)
print tau.round(2)
In [8]:
from IPython.core.display import HTML
def css_styling():
styles = open('./custom_barba.css', 'r').read()
return HTML(styles)
css_styling()
Out[8]: