Ejemplo 3. Aplicación Cauchy

Ejercicio tomado de Parcial MMC


In [1]:
from IPython.display import Image,Latex
from numpy import array, cross,dot, sqrt

Si el tensor de esfuerzos en un punto $P$, en el sistema de referencia $X,Y,Z$ está definidido por:

$$\begin{align} \\ &\sigma_{xx} = 80\dfrac{kgf}{cm^2}; \;\;\; \sigma_{yy} = 50\dfrac{kgf}{cm^2}; \;\;\; \sigma_{zz} = 60\dfrac{kgf}{cm^2} \\\\ &\tau_{xy} = \tau_{yx} =40\dfrac{kgf}{cm^2}, \;\;\; \tau_{xz} = \tau_{zx} =30\dfrac{kgf}{cm^2}; \;\;\;\tau_{yz} = \tau_{zy} = 10 \dfrac{kgf}{cm^2}\\\\ \end{align}$$

Y las coordenadas de los puntos $A$, $B$ y $C$ en el sitema de referencia $X,Y,Z$ son $(1,0,0)$ , $(0,2,0)$ y $(0,0,3)$ respectivamente. Se pide lo siguiente:

1._Calcular el vector de tracciones $\vec{t}$, que actua en una cara del punto $P$, que es paralela al plano que contiene los puntos $A$ , $B$ y $C \\\\$.

Solución:

El vector de tracciones está dado por $$\vec{t} = [\sigma]\; \hat{n}$$

Por este motivo se requiere encontrar $\hat{n}$, el cual para nuestro problema no es más que un vector perpendicular al plano formado por los puntos $A$, $B$, $C$.

Hagamos entonces una base con los vectores: $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ y $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}$


In [2]:
AB = array([4.0,2.,0.]) - array([1., 0.,0.])
AC = array([0.,0.,3.]) - array([1., 0.,0.])
print 'AB=', AB, ',', 'AC=', AC


AB= [ 3.  2.  0.] , AC= [-1.  0.  3.]

El vector unitarion $\hat{n}$ es entonces obtenido como $$ \vec{n} = \frac{\vec{AB} \times \vec{AC}}{\|\vec{AB} \times \vec{AC}\|} $$


In [3]:
Nor = cross(AB,AC)  
MNor = sqrt(dot(Nor,Nor))
n = Nor / MNor
print 'Normal=',Nor, ',' 'Magnitud',MNor


Normal= [ 6. -9.  2.] ,Magnitud 11.0

Por otro lado, el tensor $[\sigma]$ sería


In [4]:
Sigma = ([[80., 40., 30.], 
           [40.,50., 10.],
           [30., 10., 60.]])

Con esto, el vector de tracciones $\vec{t}$ sería entonces:


In [5]:
t = dot(Sigma,n)
print t.round(2)


[ 16.36 -17.27  19.09]

2.Calcular el esfuerzo normal al que está sometida la cara del punto $P$, que es paralela al plano que contiene los puntos $A$ , $B$ y $C \\\\$.

Solución: El esfuerzo normal no es más que la proyección escalar de $\vec{t}$ sobre el vector normal unitario $\hat{n}$. Es otras palabras $\sigma_{nn} = {\vec{t} \cdot \hat{n}}$


In [6]:
Sigmann = dot(t,n)
print Sigmann.round(2)


26.53

3.Calcular la magnitud del esfuerzo tangencial al que está sometida la cara del punto $P$, que es paralela al plano que contiene los puntos $A$ , $B$ y $C \\\\$

Solución

Teniendo el vector $\vec{t}$ y su componente normal la componente normal $\sigma_{nn}$, la magnitud de la compenente tangencial $\tau$, se calcularía a partir de:

$\|\vec{t}\|^2 = \|\sigma_{nn}\|^2 + \|\tau\|^2$

Despejando $\tau$, se obtiene:


In [7]:
tau = sqrt(dot(t,t) - Sigmann**2) 
print tau.round(2)


15.06

In [8]:
from IPython.core.display import HTML
def css_styling():
    styles = open('./custom_barba.css', 'r').read()
    return HTML(styles)
css_styling()


Out[8]: