In [5]:
%matplotlib inline
As Diretrizes Curriculares do MEC para os cursos de computação e informática definem que:
A matemática, para a área de computação, deve ser vista como uma ferramenta a ser usada na definição formal de conceitos computacionais (linguagens, autômatos, métodos etc.). Os modelos formais permitem definir suas propriedades e dimensionar suas instâncias, dadas suas condições de contorno.
Além disso, afirmam:
Considerando que a maioria dos conceitos computacionais pertencem ao domínio discreto, a matemática discreta (ou também chamada álgebra abstrata) é fortemente empregada.
Desta forma, a Matemática Discreta preocupa-se com o emprego de técnicas e abordagens da matemática para o entendimento de problemas a serem resolvidos com computação. Mas o que significa ser discreto? A matemática, por si, trata também do domínio contínuo. Assim, estes domínios são opostos: contínuo e discreto. Para entender isso melhor, observe o gráfico a seguir:
In [6]:
from pylab import *
In [13]:
x = linspace(0, 5, 6)
y = x ** 2
subplot(1,2,1)
plot(x, y, 'r-')
subplot(1,2,2)
plot(x, y, 'g*-');
O gráfico representa a função $y = x^2$, com $0 \leq x \leq 5$. O gráfico da direita destaca os pontos selecionados. Neste gráfico, há 6 amostras, de 0 a 5.
Aumentando-se o número de amostras em dois instantes, para 100 e para 1000 tem-se:
In [15]:
x0 = linspace(0, 5, 10)
y0 = x0 ** 2
x1 = linspace(0, 5, 100)
y1 = x1 ** 2
x2 = linspace(0, 5, 1000)
y2 = x2 ** 2
subplot(1,3,1)
plot(x0, y0, 'r-')
subplot(1,3,2)
plot(x1, y1, 'r-')
subplot(1,3,3)
plot(x2, y2, 'r-');
O que se pode perceber é que quanto mais se aumenta o número de amostras, mais se aproxima de uma curva perfeita. Entretanto, há um certo limite de percepção da perfeição dessa curva, por assim dizer. Por exemplo, embora a quantidade de amostras do gráfico da esquerda seja menor, a diferença para o gráfico da direita, visualmente falando, é pouco perceptível.
Considere outro exemplo: um computador possui uma capacidade de armazenamento virtualmente infinita. "Virtualmente" porque embora se aceite um limite, ele não é conhecido, já que a quantidade de unidades de armazemamento pode ser bastante grande. Assim, no contexto da computação, embora algo possa ser considerado finito ou infinito, ele é contável ou discreto no sentido de que pode ser enumerado ou sequenciado, de forma que não existe um elemento entre quaisquer dois elementos consecutivos da enumeração. Em outras palavras, se um computador possui dois discos rígidos (D1 e D2), não surgirá, do nada, um terceiro disco ou meio disco entre D1 e D2.
No exemplo do computador, embora a quantidade de unidades de armazenamento não seja conhecida, ela é contável e enumerável. Na matemática, o conjunto dos números naturais é contável, equanto o conjunto dos números reais não é contável.
Assim, a matemática discreta possui como ênfase os estudos matemáticos baseados em conjuntos contáveis, sejam eles finitos ou infinitos. De forma oposta, a matemática do continuum possui ênfase nos conjuntos não contáveis. Um exemplo disso são o cálculo diferencial e integral.