3 向量正交

3.1 正交子向量

3.1.1正交性

向量x,y,如果$x^{T}y=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n=0$,则称之为两个向量正交（orthogonal)

3.1.2 四个基本空间关系

秩r的$m \times n$矩阵,其行空间$\dim C(A^T)=r$和零空间$\dim N(A)=n-r$同属于$R^{n}$空间，而列空间$\dim C(A)=r$和左零空间$\dim N(A^T)=m-r$同属于$R^{m}$空间。

• Ax=0
  $\begin{bmatrix}row_1 \\ row_2 \\ \vdots \\ row_m \end{bmatrix} [x]=0 \Rightarrow \begin{cases}row_1[x]=0 \\ row_2[x]=0 \\ \vdots \\row_m[x]=0 \end{cases}$

表明行空间与零空间将$R^{n}$拆分成两个正交的子空间；同理列空间与左零空间将$R^{m}$拆分成两个正交的子空间。

3.2 投影矩阵

3.2.1向量投影

向量$\mathbf{b}$投影到向量$\mathbf{a}$上，那么投影的向量为$\mathbf{p}=x\mathbf{a}$，那么剩余的向量$\mathbf{e}=\mathbf{b}-x\mathbf{a}$，由投影关系可知 $\mathbf{e} \bot \mathbf{a}$

所以： $a^{T}e=a^{T}(b-p)=a^{T}(b-xa)=0 \Rightarrow x=\frac{a^{T}b}{a^{T}a}$ 投影后的向量$\mathbf{p}=a\frac{a^{T}b}{a^{T}a}$,由此可知，投影向量为$P=\frac{aa^{T}}{a^{T}a}$

性质

• $p=p^T$
  $(p^T)^T=\frac{(aa^T)^T}{a^Ta}=\frac{aa^T}{a^Ta}=p$
• $P=p^2$
  如果对一个向量作一次投影后再作一次投影，那么结果不变。

3.2.2 空间投影

对于方程Ax=b不一定有解，但是向量Ax一定在A的列空间中，所以可以将b投影到A的列空间中，将$Ax=b$转换为$Ax=p$。 $p=Ax \Rightarrow e=b-Ax \Rightarrow A^{T}e=A^{T}(b-Ax)=0 \Rightarrow A^{T}Ax=A^{T}b$

所以

• $\hat{x} = (A^TA)^{-1}A^Tb$
• $P=A\hat{x}=A(A^TA)^{-1}A^Tb$
• 投影矩阵
  $P=A(A^TA)^{-1}A^T$

如果A的各个列向量线性无关，则$A^TA$可逆

3.3 正交矩阵和Gram-schmit正交化

3.3.1 标准正交向量

$q_i^{T}q_j=\begin{cases}0 & i \ne j \\ 1 & i = j \end{cases}$
将标准正交向量放入到矩阵中
$Q=\Bigg[ q_1q_2\ldots q_n \Bigg]$ 所以 $$Q^TQ=\Bigg[q_1^Tq_2^T\ldots q_n^T \Bigg]\Bigg[ q_1q_2\ldots q_n \Bigg] = \begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{bmatrix} = I$$ 将$Q$称之为标准正交矩阵。若$Q$为方阵，则$Q^{T}=Q^{-1}$

3.3.2 Gram-schmit 正交化

若干线性无关向量 $a,b,c,\cdots$，求解出正交向量 $A,B,C,\cdots$

• 确定A向量
  令 $A=a$
• 确定B向量
  取 $b$ 在A上的法向量即为向量B，通过投影一章可知，法向量$e$等于$b-p$，其中$p$为$b$在$A$上的投影。所以$B=b-p=b-\frac{A^Tb}{A^TA}A$
• 确定C向量
  $C$向量为分别垂直于$A$和$B$向量的法向量，用$c$向量分别减去$c$在$A$和$B$上的投影，可得到$C=c-\frac{A^Tc}{A^TA}A-\frac{B^Tc}{B^TB}B$
• $\ldots$
  剩下的同理