

In [1]:

    
from sympy import *
init_printing() #muestra símbolos más agradab
R=lambda n,d: Rational(n,d)



In [2]:

    
x,y,a,b,c,d,xi,eta=symbols('x,y,a,b,c,d,xi,eta',real=true)

Ejercicio parcial:

Resolver $\frac{dy}{dx}=\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$. Ayuda: hace el anzats $\xi=ax+c$ y $\eta=bx+d$ para encontrar las simetrías



In [4]:

    
#cargamos la función
f=x*y**4/3-R(2,3)*y/x+R(1,3)/x**3/y**2
f









    Out[4]:





$$\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$$

Hacemos el anzats para encontrar $\xi=ax+c$ y $\eta=bx+d$



In [5]:

    
xi=a*x+c
eta=b*y+d
xi, eta









    Out[5]:





$$\left ( a x + c, \quad b y + d\right )$$



In [6]:

    
(eta.diff(x)+(eta.diff(y)-xi.diff(x))*f-xi*f.diff(x)-eta*f.diff(y)).factor()









    Out[6]:





$$- \frac{1}{3 x^{4} y^{3}} \left(x^{2} y^{3} - 1\right) \left(2 a x^{3} y^{4} + 2 a x y + 3 b x^{3} y^{4} + 3 b x y + c x^{2} y^{4} + 3 c y + 4 d x^{3} y^{3} + 2 d x\right)$$

Luego, $c=d=0$, $b=-\frac23 a$, podemos tomar $a=1$



In [21]:

    
L=(eta.diff(x)+(eta.diff(y)-xi.diff(x))*f-xi*f.diff(x)-eta*f.diff(y)).factor()
#L.subs({c:0,d:0})
L=(2*a*x**3*y**4 + 2*a*x*y + 3*b*x**3*y**4 + 3*b*x*y + c*x**2*y**4 + 3*c*y + 4*d*x**3*y**3 + 2*d*x)
poly(L,x,y)









    Out[21]:





$$\operatorname{Poly}{\left( c x^{2} y^{4} + 3 c y + 4 d x^{3} y^{3} + 2 d x + x^{3} y^{4} \left(2 a + 3 b\right) + x y \left(2 a + 3 b\right), x, y, domain=\mathbb{Z}\left[a, b, c, d\right] \right)}$$

Encontremos las coordenadas polares



In [6]:

    
y=Function('y')(x)
xi=x
eta=-R(2,3)*y
xi, eta









    Out[6]:





$$\left ( x, \quad - \frac{2}{3} y{\left (x \right )}\right )$$



In [7]:

    
dsolve(Eq(y.diff(x),eta/xi),y)









    Out[7]:





$$y{\left (x \right )} = \frac{C_{1}}{x^{\frac{2}{3}}}$$



In [8]:

    
y=symbols('y')
r=x**2*y**3
r









    Out[8]:





$$x^{2} y^{3}$$



In [9]:

    
s=integrate(xi**(-1),x)
s









    Out[9]:





$$\log{\left (x \right )}$$



In [10]:

    
s=log(abs(x))
r, s









    Out[10]:





$$\left ( x^{2} y^{3}, \quad \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right )$$

Encontremos la ecuación $\frac{dr}{ds}=??$



In [11]:

    
y=Function('y')(x)
r=x**2*y**3
s=log(abs(x))
f=x*y**4/3-R(2,3)*y/x+R(1,3)/x**3/y**2
r,s,f









    Out[11]:





$$\left ( x^{2} y^{3}{\left (x \right )}, \quad \log{\left (\left|{x}\right| \right )}, \quad \frac{x}{3} y^{4}{\left (x \right )} - \frac{2}{3 x} y{\left (x \right )} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}{\left (x \right )}}\right )$$



In [12]:

    
(r.diff(x)/s.diff(x)).subs(y.diff(x),f).simplify()









    Out[12]:





$$\frac{\left(x^{4} y^{6}{\left (x \right )} + 1\right) \left|{x}\right|}{x \operatorname{sign}{\left (x \right )}}$$

Resolvamos $\frac{dr}{ds}=1+r^2$



In [13]:

    
r=symbols('r')
s=symbols('s')
C=symbols('C')
solEcuacionPolares=Eq(integrate((1+r**2)**(-1),r),s+C)
solEcuacionPolares









    Out[13]:





$$\operatorname{atan}{\left (r \right )} = C + s$$

Expresemos la ecuación en coordenadas cartesianas



In [14]:

    
solEcuacionCart=solEcuacionPolares.subs(r,x**2*y**3).subs(s,log(abs(x)))
solEcuacionCart









    Out[14]:





$$\operatorname{atan}{\left (x^{2} y^{3}{\left (x \right )} \right )} = C + \log{\left (\left|{x}\right| \right )}$$

verifiquemos que, derivando respecto de $x$, los puntos que stisfacen esta igualdad resuelven la ecuación original



In [15]:

    
ec1=Eq(solEcuacionCart.lhs.diff(x),solEcuacionCart.rhs.diff(x))
ec1









    Out[15]:





$$\frac{1}{x^{4} y^{6}{\left (x \right )} + 1} \left(3 x^{2} y^{2}{\left (x \right )} \frac{d}{d x} y{\left (x \right )} + 2 x y^{3}{\left (x \right )}\right) = \frac{1}{\left|{x}\right|} \operatorname{sign}{\left (x \right )}$$



In [16]:

    
ec2=Eq(ec1.lhs,1/x)
ec2









    Out[16]:





$$\frac{1}{x^{4} y^{6}{\left (x \right )} + 1} \left(3 x^{2} y^{2}{\left (x \right )} \frac{d}{d x} y{\left (x \right )} + 2 x y^{3}{\left (x \right )}\right) = \frac{1}{x}$$



In [17]:

    
solve(ec2,y.diff(x))









    Out[17]:





$$\left [ \frac{x}{3} y^{4}{\left (x \right )} - \frac{2}{3 x} y{\left (x \right )} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}{\left (x \right )}}\right ]$$



In [ ]: