Ejercicio N° 5 Recuperatorio Primer Parcial 2015

Las siguientes relaciones

$$\hat{x}=\frac{x(x+y)}{x+y+\epsilon}$$$$\hat{y}=\frac{(x+y)(\epsilon x+y)}{x+y+\epsilon}$$

definen un grupo de Lie uniparamétrico. Usando SymPy demostrar que $(\hat{x},\hat{y})$ son simetrías de la ecuación

$$y'=\frac{ x^2\sin(x + y) + y}{x(1-x\sin(x + y))}.$$

Encontrar variables canónicas asocidas a las simetrías. Resolver la ecuación diferencial.

Primero veamos si el grupo propuesto es simetría de la ecuación.



In [2]:

    
from sympy import *
init_printing()
x,epsilon=symbols('x,epsilon')
y=Function('y')(x)
x1=x*(x+y)/(y+(1+epsilon)*x)
y1=(epsilon*x+y)*(x+y)/(y+(1+epsilon)*x)
exp1=y1.diff(x)/x1.diff(x)
exp2=exp1.subs(y.diff(x),(x**2*sin(x+y)+y)/x/(1-x*sin(x+y)))
x1,y1=symbols('x1,y1')
exp2=exp2.simplify()
exp3=exp2.subs({y:(-epsilon*x1+y1)*(x1+y1)/(y1+(1-epsilon)*x1),x:x1*(x1+y1)/(y1+(1-epsilon)*x1)})

En exp3 tenemos el resultado del cambio de varibles en la ecuación. Veamos que tiene



In [4]:

    
exp3









    Out[4]:





$$\frac{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right) \left(\frac{\epsilon^{2} x_{1}^{2} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{2}}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{2}} + \frac{\epsilon x_{1}^{2} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{2}}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{2}} + \frac{2 \epsilon x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{2} \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{2}} + \frac{x_{1}^{3} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{3}}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{3}} \sin{\left (\frac{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} + \frac{\left(x_{1} + y_{1}\right) \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} \right )} + \frac{x_{1}^{2} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{3}}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{3}} \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right) \sin{\left (\frac{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} + \frac{\left(x_{1} + y_{1}\right) \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} \right )} + \frac{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{2} \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{2}} + \frac{\left(x_{1} + y_{1}\right)^{2} \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)^{2}}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{2}}\right)}{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right) \left(\frac{\epsilon x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} - \frac{x_{1}^{2} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{2}}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{2}} \sin{\left (\frac{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} + \frac{\left(x_{1} + y_{1}\right) \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} \right )} - \frac{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)^{2}}{\left(x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}\right)^{2}} \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right) \sin{\left (\frac{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} + \frac{\left(x_{1} + y_{1}\right) \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} \right )} + \frac{x_{1} \left(x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}} + \frac{\left(x_{1} + y_{1}\right) \left(- \epsilon x_{1} + y_{1}\right)}{x_{1} \left(- \epsilon + 1\right) + y_{1}}\right)}$$

Verdaderamente asusta. Veamos si lo simplifica



In [5]:

    
exp4=exp3.simplify()
exp4









    Out[5]:





$$\frac{- x_{1}^{2} \sin{\left (\frac{1}{\epsilon x_{1} - x_{1} - y_{1}} \left(- \epsilon x_{1}^{2} - \epsilon x_{1} y_{1} + x_{1}^{2} + 2 x_{1} y_{1} + y_{1}^{2}\right) \right )} + y_{1}}{x_{1} \left(x_{1} \sin{\left (\frac{1}{\epsilon x_{1} - x_{1} - y_{1}} \left(- \epsilon x_{1}^{2} - \epsilon x_{1} y_{1} + x_{1}^{2} + 2 x_{1} y_{1} + y_{1}^{2}\right) \right )} + 1\right)}$$

La ecuación luce parecida a la original, pero lamentablemete no simplifica el argumento de la función sen. Tomo esos argumentos por separado y le pido que me los simplifique



In [6]:

    
((-epsilon*x1**2 - epsilon*x1*y1 + x1**2 + 2*x1*y1 + y1**2)/(epsilon*x1 - x1 - y1)).simplify()









    Out[6]:





$$- x_{1} - y_{1}$$

Los argumentos de la función sen es -x1-y1 que es justo lo que necesito para que quede la ecuación original. Ahora hallemos coordenadas canónicas



In [7]:

    
x1=x*(x+y)/(y+(1+epsilon)*x)
y1=(epsilon*x+y)*(x+y)/(y+(1+epsilon)*x)
xi=x1.diff(epsilon).subs(epsilon,0)
eta=y1.diff(epsilon).subs(epsilon,0)
xi,eta









    Out[7]:





$$\begin{pmatrix}- \frac{x^{2}}{x + y{\left (x \right )}}, & x - \frac{x y{\left (x \right )}}{x + y{\left (x \right )}}\end{pmatrix}$$



In [8]:

    
(eta/xi).simplify()









    Out[8]:





$$-1$$



In [9]:

    
dsolve(y.diff(x)-eta/xi,y)









    Out[9]:





$$y{\left (x \right )} = C_{1} - x$$

Vemos que r=y+x



In [10]:

    
r=symbols('r')
s=Integral((1/xi).subs(y,r-x),x).doit()
s









    Out[10]:





$$\frac{r}{x}$$



In [11]:

    
s=s.subs(r,x+y)
s









    Out[11]:





$$\frac{1}{x} \left(x + y{\left (x \right )}\right)$$



In [12]:

    
s.expand()









    Out[12]:





$$1 + \frac{1}{x} y{\left (x \right )}$$

La variable s sería 1+y/x. Pero las variables canónicas no son únicas, vimos que (F(r),G(r)+s) es canónica, para cualquier F no nula y G.En particular si tomamos F(r)=r y G(r)=-1, vemos que podemos elegir como coordenadas canónicas r=x+y y s=y/x. Hagamos la sustitución en coordenadas canónicas



In [13]:

    
r=x+y
s=y/x
exp5=r.diff(x)/s.diff(x)
exp6=exp5.subs(y.diff(x),(x**2*sin(x+y)+y)/x/(1-x*sin(x+y)))
exp6.simplify()









    Out[13]:





$$\frac{1}{\sin{\left (x + y{\left (x \right )} \right )}}$$

Vemos que el resultado es 1/sen(r). No obstante hagamos, de curiosidad, la sustitución como si no nos hubiesemos dado cuenta todavía del resultado. Hallemos los cambios inversos (r,s)->(x,y)



In [14]:

    
r2,s2,x2,y2=symbols('r2,s2,x2,y2')
solve([r2-x2-y2,s2-y2/x2],[x2,y2])









    Out[14]:





$$\begin{Bmatrix}x_{2} : \frac{r_{2}}{s_{2} + 1}, & y_{2} : \frac{r_{2} s_{2}}{s_{2} + 1}\end{Bmatrix}$$



In [15]:

    
exp6.subs({y:r2*s2/(s2+1),x:r2/(s2+1)}).simplify()









    Out[15]:





$$\frac{1}{\sin{\left (r_{2} \right )}}$$

La ecuación que resulta r'=1/sen(r) se resuelve facilmente a mano. Nos queda cos(r)=s+C -> cos(x+y)=y/x+C que es la solución de la ecuación original

Ejercicio 2.2(c) p. 41 de Hydon. Hay que hallar el grupo de Lie cuyo generador infintesimal es $$X=2xy\partial_x+(y^2-x^2)\partial_y$$ La idea es

1) Hallar coordenadas canónicas

2) Usar que en canónicas el grupo de simetrías satisface

$$\hat{r}=r\quad\text{y}\quad\hat{s}=s+\epsilon$$

3) Escribir las relaciones anteriores en las variables originales.



In [3]:

    
x,y,r,s=symbols('x,y,r,s')
f=Function('f')(x)
dsolve(f.diff(x)-(f**2-x**2)/2/x/f)









    Out[3]:





$$f{\left (x \right )} = \sqrt{x \left(C_{1} - x\right)}$$



In [4]:

    
Integral(1/(2*x*sqrt(x*(r-x))),x).doit()









    Out[4]:





$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x \sqrt{r x - x^{2}}}\, dx$$

No lo sabe hacer. Si hacemos la sustitución $x=u^2$ nos queda $$\int\frac{dx}{2x\sqrt{x(r-x)}}=\int\frac{du}{u^2\sqrt{r-u^2}}.$$ Y esta si la sabe resolver.



In [5]:

    
u=symbols('u')
Integral(1/u**2/sqrt(r-u**2),u).doit()









    Out[5]:





$$\begin{cases} - \frac{1}{r} \sqrt{\frac{r}{u^{2}} - 1} & \text{for}\: \left|{\frac{r}{u^{2}}}\right| > 1 \\- \frac{i}{r} \sqrt{- \frac{r}{u^{2}} + 1} & \text{otherwise} \end{cases}$$

$s=-\frac{1}{r}\sqrt{\frac{r}{u^2}-1}= -\frac{1}{r} \sqrt{ \frac{r-x}{x}}= -\frac{x}{x^2+y^2} \sqrt{ \frac{y^2/x}{x}}=-\frac{y}{x^2+y^2}$

Ahora escribimos $$\hat{r}=r\quad\text{y}\quad\hat{s}=s+\epsilon$$ en $x,y$.



In [11]:

    
x,y,xn,yn,epsilon=symbols('x,y,\hat{x},\hat{y},epsilon')
A=solve([(xn**2+yn**2)/xn-(x**2+y**2)/x , -yn/(xn**2+yn**2)+y/(x**2+y**2)-epsilon],[xn,yn])
A









    Out[11]:





$$\left [ \left ( \frac{x}{\epsilon^{2} x^{2} + \epsilon^{2} y^{2} - 2 \epsilon y + 1}, \quad \frac{- \epsilon x^{2} - \epsilon y^{2} + y}{\epsilon^{2} x^{2} + \epsilon^{2} y^{2} - 2 \epsilon y + 1}\right )\right ]$$



In [12]:

    
A[0]









    Out[12]:





$$\left ( \frac{x}{\epsilon^{2} x^{2} + \epsilon^{2} y^{2} - 2 \epsilon y + 1}, \quad \frac{- \epsilon x^{2} - \epsilon y^{2} + y}{\epsilon^{2} x^{2} + \epsilon^{2} y^{2} - 2 \epsilon y + 1}\right )$$



In [13]:

    
A=Matrix(A[0])
A









    Out[13]:





$$\left[\begin{matrix}\frac{x}{\epsilon^{2} x^{2} + \epsilon^{2} y^{2} - 2 \epsilon y + 1}\\\frac{- \epsilon x^{2} - \epsilon y^{2} + y}{\epsilon^{2} x^{2} + \epsilon^{2} y^{2} - 2 \epsilon y + 1}\end{matrix}\right]$$

Chequeemos que $\left.\frac{d}{d\epsilon}(\hat{x},\hat{y})\right|_{\epsilon=0}=(2xy,y^2-x^2)$



In [14]:

    
A.diff(epsilon).subs(epsilon,0)









    Out[14]:





$$\left[\begin{matrix}2 x y\\- x^{2} + y^{2}\end{matrix}\right]$$

Chequeemos la propiedad de grupo de Lie. Definimos el operador $T$ con lambda



In [15]:

    
T=lambda x,y,epsilon: Matrix([ x/(epsilon**2*(x**2+y**2)-2*epsilon*y+1),-(epsilon*x**2+epsilon*y**2-y)/(epsilon**2*(x**2+y**2)-2*epsilon*y+1)])



In [16]:

    
epsilon_1,epsilon_2=symbols('epsilon_1,epsilon_2')
expr=T(T(x,y,epsilon_1)[0],T(x,y,epsilon_1)[1],epsilon_2)-T(x,y,epsilon_1+epsilon_2)
expr









    Out[16]:





$$\left[\begin{matrix}- \frac{x}{- y \left(2 \epsilon_{1} + 2 \epsilon_{2}\right) + \left(\epsilon_{1} + \epsilon_{2}\right)^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) + 1} + \frac{x}{\left(\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1\right) \left(\epsilon_{2}^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1\right)^{2}} + \frac{\left(- \epsilon_{1} x^{2} - \epsilon_{1} y^{2} + y\right)^{2}}{\left(\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1\right)^{2}}\right) - \frac{2 \epsilon_{2} \left(- \epsilon_{1} x^{2} - \epsilon_{1} y^{2} + y\right)}{\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1} + 1\right)}\\- \frac{- x^{2} \left(\epsilon_{1} + \epsilon_{2}\right) - y^{2} \left(\epsilon_{1} + \epsilon_{2}\right) + y}{- y \left(2 \epsilon_{1} + 2 \epsilon_{2}\right) + \left(\epsilon_{1} + \epsilon_{2}\right)^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) + 1} + \frac{- \frac{\epsilon_{2} x^{2}}{\left(\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1\right)^{2}} - \frac{\epsilon_{2} \left(- \epsilon_{1} x^{2} - \epsilon_{1} y^{2} + y\right)^{2}}{\left(\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1\right)^{2}} + \frac{- \epsilon_{1} x^{2} - \epsilon_{1} y^{2} + y}{\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1}}{\epsilon_{2}^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1\right)^{2}} + \frac{\left(- \epsilon_{1} x^{2} - \epsilon_{1} y^{2} + y\right)^{2}}{\left(\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1\right)^{2}}\right) - \frac{2 \epsilon_{2} \left(- \epsilon_{1} x^{2} - \epsilon_{1} y^{2} + y\right)}{\epsilon_{1}^{2} \left(x^{2} + y^{2}\right) - 2 \epsilon_{1} y + 1} + 1}\end{matrix}\right]$$



In [17]:

    
simplify(expr)









    Out[17]:





$$\left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right]$$



In [ ]: