Ejercicios varios relacionados con grupos de Lie



In [1]:

    
from sympy import *
init_printing() #muestra símbolos más agradab
R=lambda n,d: Rational(n,d)

Ejercicio (1ª parcial 2018): Resolver $\frac{dy}{dx}=\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$.

Intentaremos con la heuística $$\xi=ax+cy+e$$ y $$\eta=bx+dy+f$$ para encontrar las simetrías



In [67]:

    
x,y,a,b,c,d,e,f=symbols('x,y,a,b,c,d,e,f',real=True)
#cargamos la función
F=x*y**4/3-R(2,3)*y/x+R(1,3)/x**3/y**2
F









    Out[67]:





$$\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}$$

Hacemos $\xi=ax+cy+e$ y $\eta=bx+dy+f$



In [3]:

    
xi=a*x+c*y+e
eta=b*x+d*y+f
xi, eta









    Out[3]:





$$\left ( a x + c y + e, \quad b x + d y + f\right )$$

Condición de simetría linealizada



In [4]:

    
Q=eta-xi*F
CondSim=Q.diff(x)+F*Q.diff(y)-F.diff(y)*Q
CondSim









    Out[4]:





$$- a \left(\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}\right) + b + \left(\frac{y^{4}}{3} + \frac{2 y}{3 x^{2}} - \frac{1}{x^{4} y^{2}}\right) \left(- a x - c y - e\right) + \left(- c \left(\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}\right) + d + \left(- a x - c y - e\right) \left(\frac{4 x y^{3}}{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3 x^{3} y^{3}}\right)\right) \left(\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}\right) - \left(\frac{4 x y^{3}}{3} - \frac{2}{3 x} - \frac{2}{3 x^{3} y^{3}}\right) \left(b x + d y + f - \left(a x + c y + e\right) \left(\frac{x y^{4}}{3} - \frac{2 y}{3 x} + \frac{1}{3 x^{3} y^{2}}\right)\right)$$



In [5]:

    
CondSim=CondSim.factor()
CondSim









    Out[5]:





$$- \frac{6 a x^{7} y^{8} - 6 a x^{3} y^{2} + 12 b x^{8} y^{7} - 15 b x^{6} y^{4} - 6 b x^{4} y + c x^{8} y^{12} - c x^{6} y^{9} + 12 c x^{4} y^{6} - 13 c x^{2} y^{3} + c + 9 d x^{7} y^{8} - 9 d x^{3} y^{2} + 3 e x^{6} y^{8} + 6 e x^{4} y^{5} - 9 e x^{2} y^{2} + 12 f x^{7} y^{7} - 6 f x^{5} y^{4} - 6 f x^{3} y}{9 x^{6} y^{4}}$$



In [6]:

    
CondSim1,nosirvo=fraction(CondSim)
CondSim1









    Out[6]:





$$- 6 a x^{7} y^{8} + 6 a x^{3} y^{2} - 12 b x^{8} y^{7} + 15 b x^{6} y^{4} + 6 b x^{4} y - c x^{8} y^{12} + c x^{6} y^{9} - 12 c x^{4} y^{6} + 13 c x^{2} y^{3} - c - 9 d x^{7} y^{8} + 9 d x^{3} y^{2} - 3 e x^{6} y^{8} - 6 e x^{4} y^{5} + 9 e x^{2} y^{2} - 12 f x^{7} y^{7} + 6 f x^{5} y^{4} + 6 f x^{3} y$$



In [7]:

    
e1=CondSim1.coeff(x**7).coeff(y**7)
e1









    Out[7]:





$$- 12 f$$

debe ser $f=0$



In [8]:

    
CondSim2=CondSim1.subs(f,0)
CondSim2









    Out[8]:





$$- 6 a x^{7} y^{8} + 6 a x^{3} y^{2} - 12 b x^{8} y^{7} + 15 b x^{6} y^{4} + 6 b x^{4} y - c x^{8} y^{12} + c x^{6} y^{9} - 12 c x^{4} y^{6} + 13 c x^{2} y^{3} - c - 9 d x^{7} y^{8} + 9 d x^{3} y^{2} - 3 e x^{6} y^{8} - 6 e x^{4} y^{5} + 9 e x^{2} y^{2}$$



In [9]:

    
e2=CondSim2.coeff(x**7).coeff(y**8)
e2









    Out[9]:





$$- 6 a - 9 d$$

Vemos que $d=-2/3a$.



In [10]:

    
CondSim3=CondSim2.subs(d,-2*a/3)
CondSim3









    Out[10]:





$$- 12 b x^{8} y^{7} + 15 b x^{6} y^{4} + 6 b x^{4} y - c x^{8} y^{12} + c x^{6} y^{9} - 12 c x^{4} y^{6} + 13 c x^{2} y^{3} - c - 3 e x^{6} y^{8} - 6 e x^{4} y^{5} + 9 e x^{2} y^{2}$$

debe ser $c=0$.



In [11]:

    
CondSim4=CondSim3.subs(c,0)
CondSim4









    Out[11]:





$$- 12 b x^{8} y^{7} + 15 b x^{6} y^{4} + 6 b x^{4} y - 3 e x^{6} y^{8} - 6 e x^{4} y^{5} + 9 e x^{2} y^{2}$$



In [12]:

    
e3=CondSim4.coeff(x**8).coeff(y**7)
e3









    Out[12]:





$$- 12 b$$

Vemos que $b=0$.



In [13]:

    
CondSim5=CondSim4.subs(b,0)
CondSim5









    Out[13]:





$$- 3 e x^{6} y^{8} - 6 e x^{4} y^{5} + 9 e x^{2} y^{2}$$

Se cumple si $e=0$.



In [14]:

    
xi=xi.subs({c:0,f:0,e:0,a:1,b:0,d:-R(2,3)})
eta=eta.subs({c:0,f:0,e:0,a:1,b:0,d:-R(2,3)})
xi,eta









    Out[14]:





$$\left ( x, \quad - \frac{2 y}{3}\right )$$

Puntos invariantes: $(0,0)$. Allí no tendremos coordenadas canónicas.

Para hallar la coordenada invariante resolvemos $$y'=\frac{\eta}{\xi}.$$



In [15]:

    
f=Function('f')(x)
xi2=xi.subs(y,f)
eta2=eta.subs(y,f)
dsolve(Eq(f.diff(x),eta2/xi2),f)









    Out[15]:





$$f{\left (x \right )} = \frac{C_{1}}{x^{\frac{2}{3}}}$$

Esto nos indica que $r=x^{\frac{2}{3}}y$ es una solución. Como $H(r)$ también sirve cualquiera sea la $H$, con $H'\neq 0$. Eligiendo $F(r)=r^3$ podemos suponer $r= x^2y^3$.



In [39]:

    
r=x**2*y**3
r









    Out[39]:





$$x^{2} y^{3}$$

Para hallar $s$ resolvemos $$s=\int\frac{1}{\xi}dx.$$



In [40]:

    
s=integrate(xi2**(-1),x)
s









    Out[40]:





$$\log{\left (x \right )}$$

Sympy no integra bien el logarítmo



In [41]:

    
s=log(abs(x))
r, s









    Out[41]:





$$\left ( x^{2} y^{3}, \quad \log{\left (\left|{x}\right| \right )}\right )$$

Reemplacemos en la fórmula de cambios de variables $$\frac{ds}{dr}=\left.\frac{s_x+s_y F}{r_x+r_y F}\right|_{x=e^s,y=r^{1/3}e^{-2/3s}}.$$



In [42]:

    
Ecua=( (s.diff(x)+s.diff(y)*F)/(r.diff(x)+r.diff(y)*F)).simplify()
r,s=symbols('r,s',real=True)
Ecua=Ecua.subs({x:exp(s),y:r**R(1,3)*exp(-R(2,3)*s)}) 
Ecua









    Out[42]:





$$\frac{1}{r^{2} + 1}$$

Resolvamos $\frac{dr}{ds}=\frac{1}{1+r^2}$. La solucón gral es $\arctan(r)=s+C$. Expresemos la ecuación en coordenadas cartesianas

$$\arctan(x^2y^3)=\log(|x|)+C.$$



In [69]:

    
C=symbols('C',real=True)
sol=Eq(atan(x**2*y**3),log(abs(x))+C)
solExpl=solve(sol,y)
solExpl









    Out[69]:





$$\left [ \frac{\sqrt[3]{\tan{\left (C + \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \right )}}}{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}, \quad \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{\tan{\left (C + \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \right )}}}{2 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}, \quad - \frac{\left(1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{\tan{\left (C + \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \right )}}}{2 \left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}\right ]$$



In [70]:

    
yg=solExpl[0]
yg









    Out[70]:





$$\frac{\sqrt[3]{\tan{\left (C + \log{\left (\left|{x}\right| \right )} \right )}}}{\left|{x}\right|^{\frac{2}{3}}}$$



In [71]:

    
Q=simplify(eta-xi*F)
Q









    Out[71]:





$$- \frac{x^{4} y^{6} + 1}{3 x^{2} y^{2}}$$

No hay soluciones invariantes



In [78]:

    
p=plot_implicit(sol.subs(C,0),(x,-5,5),(y,-10,10),show=False)
for k in range(-10,10):
    p.append(plot_implicit(sol.subs(C,k),(x,-5,5),(y,-10,10),show=False)[0])
p.show()



In [ ]: