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Repaso (Módulo 1)

Recordar que el tema principal del módulo 1 son las ecuaciones diferenciales. Entonces, al finalizar este módulo, las competencias principales que deben tener ustedes es

  • Resolver de forma numérica ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de cualquier orden.
  • Graficar soluciones de dichas EDO en diferentes representaciones.
  • Interpretar o concluir acerca de las gráficas que se obtuvieron.

Ejemplo 1. Recordemos la ecuación logística.

Un modelo popular de crecimiento poblacional de organismos es la llamada ecuación lógistica, publicada por Pierre Verhulst en 1838.

$$\frac{dx}{dt} = \mu(x) \; x = r\; (1- x)\; x.$$

En este modelo, $x$ es una variable que representa cualitativamente la población. El valor $x=1$ representa la capacidad máxima de población y el valor $x=0$ representa extinción.

Además, $r$ es la tasa de crecimiento máxima de la población.

  1. Dibuje $\mu(x)=r(1-x)$ para $r=1$, e interprete su significado.
  2. Para $r=1$ y $x(0)=x_0=0.1$ resuelva numéricamente esta ecuación y grafique $x$ vs. $t$. ¿Qué se puede decir de la población cuando $t\to\infty$?
  3. Haga un barrido de $-1\leq r\leq 1$ con pasos de $0.5$, resolviendo la ecuación logística numéricamente cada vez y graficando los resultados en una misma gráfica. ¿Para qué valores de $r$ se tiene crecimiento de la población? ¿Para qué valores se tiene extinción?




In [2]:



    


# Numeral 1
# Importar librerías necesarias
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline



    











In [3]:



    


# Definimos funcion mu
def mu(x, r):
    return r*(1-x)



    











In [7]:



    


# Definimos conjunto de valores en x
x = np.linspace(0, 1.2, 50)
# Valor del parametro solicitado
r = 1
# Conjunto de valores en y
y = mu(x, r)



    











In [12]:



    


# Graficamos
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(x, y, 'r')
plt.xlabel('Poblacion $x$')
plt.ylabel('$\mu(x)$')
plt.grid()

plt.show()

Por la ecuación logística, $\mu(x)$ representa una tasa de crecimiento de la población. Por la gráfica, cuando la poblacion es pequeña esta tasa es máxima y cuando la población está en su tope esta tasa es cero.





In [14]:



    


# Numeral 2
# Importamos librería para solución numérica de ecuaciones diferenciales
from scipy.integrate import odeint



    











In [17]:



    


# Definimos la función que nos pide odeint
def logistica(x, t):
    return r*(1-x)*x

x0 = 0.1  # Condición inicial
tt = np.linspace(0, 10) # Vector de tiempo
xx = odeint(logistica, x0, tt) # Solución numérica



    











In [20]:



    


# Graficamos solución
plt.figure(figsize=(6,4))
plt.plot(tt, xx, '--y', linewidth = 3)
plt.xlabel('Tiempo $t$')
plt.ylabel('Poblacion $x(t)$')
plt.grid()

plt.show()

Con estas condiciones, la solución numérica nos muestra que la población tiende a su capacidad máxima cuando $t\to\infty$.





In [32]:



    


# Numeral 3
plt.figure(figsize=(6,4))
for r in np.arange(-1,1.1,0.5):
    xx = odeint(logistica, x0, tt)
    plt.plot(tt, xx, linewidth = 3, label = 'r=%f'%r)
    
plt.xlabel('Tiempo $t$')
plt.ylabel('Poblacion $x(t)$')
plt.legend(loc='center left', bbox_to_anchor=(1.05,0.5))
plt.grid()

plt.show()

De la gráfica podemos inferir que la población crece hasta su capacidad máxima para $r>0$, se extingue para $r<0$ y permanece constante para $r=0$.

Ejemplo 2. Conejos vs. Ovejas.

Imaginemos que en un mismo ecosistema se encuentran conejos y ovejas. Supongamos, además, que ambas compiten por el mismo alimento (hierba) y que la cantidad total de alimento es limitada. Se ignoran otros factores como depredadores, efectos de temporada (estaciones), y otras fuentes de comida. El modelo de competición entre dos especies Lotka-Volterra nos sirve para describir este fenómeno.

Dos fenómenos importantes:

  • Cada especie crecería hasta su capacidad máxima en ausencia de la otra especie. Esto se puede modelar con la ecuación logística para cada especie. Los conejos tienen una habilidad soprendente para reproducirse, entonces comparativamente deberían crecer más.
  • Cuando conejos y ovejas se encuentran, empieza la competencia. Algunas veces los conejos comen, pero las ovejas (al ser más grandes) ganarán el derecho a la comida la mayoría de las veces. Supondremos que dichos conflictos se dan a una tasa proporcional al tamaño de cada población (si hay dos veces más ovejas, la probabilidad de que un conejo encuentre a una oveja será el doble). Supondremos que dicha competencia disminuirá la tasa de crecimiento para cada especie, y el efecto será mayor para los conejos.

Con las consideraciones anteriores, un modelo específico es:

\begin{align} \frac{dx_1}{dt} &= x_1(3-x_1-2x_2)\\ \frac{dx_2}{dt} &= x_2(2-x_2-x_1), \end{align}

donde $x_1(t)\geq 0$ es la población de conejos al instante $t$ y $x_2(t)\geq 0$ es la población de ovejas al instante $t$. Definimos $x=\left[x_1\quad x_2\right]^T$.

Esta selección de coeficientes se tiene para recrear el escenario descrito. Sin embargo, este modelo se puede utilizar para estudiar competición entre especies en general y los coeficientes cambiarán en cada caso.

Simule el sistema para cada una de las siguientes condiciones iniciales. Para cada caso, obtenga gráficas de $x_1$ vs. $t$, $x_2$ vs. $t$ y $x_2$ vs. $x_1$. ¿Qué pasa con las poblaciones de conejos y de ovejas cuando $t\to\infty$? ¿Pueden coexistir?

  1. $x(0)=\left[x_1(0)\quad x_2(0)\right]^T = [0.5 \quad 1]^T$.
  2. $x(0)=\left[x_1(0)\quad x_2(0)\right]^T = [1 \quad 0.5]^T$.
  3. $x(0)=\left[x_1(0)\quad x_2(0)\right]^T = [1.5 \quad 1]^T$.
  4. $x(0)=\left[x_1(0)\quad x_2(0)\right]^T = [1 \quad 1.5]^T$.
  5. $x(0)=\left[x_1(0)\quad x_2(0)\right]^T = [1 \quad 1]^T$.




In [1]:



    


# importar librerías
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint



    











In [4]:



    


# definimos modelo lotka volterra
def lotka_volterra(x, t):
    x1 = x[0]
    x2 = x[1]
    return [x1*(3-x1-2*x2), x2*(2-x2-x1)]



    











In [12]:



    


# primer condición inicial
x0 = [0.5, 1]
tt = np.linspace(0, 10, 100)
# solucion numerica
xx = odeint(lotka_volterra, x0, tt)



    











In [14]:



    


xx.shape



    


















    
Out[14]:








(100, 2)

















In [21]:



    


x1 = xx[:, 0]
x2 = xx[:, 1]



    











In [28]:



    


# Graficas
plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(tt, x1, '*g', label = 'conejos $x_1$')
plt.plot(tt, x2, '--r', label = 'ovejas $x_2$')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel('Población')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(x1, x2, 'b', label = '(conejos,ovejas)')
plt.plot(x1[0], x2[0], 'oy', lw = 3, label = 'inicial')
plt.plot(x1[-1], x2[-1], 'ok', lw = 3, label = 'final')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$x_1$ (conejos)')
plt.ylabel('$x_2$ (ovejas)')

plt.show()

Con estas condiciones iniciales, evidenciamos que los conejos se extinguen y que las ovejas alcanzan su máxima capacidad de población.





In [29]:



    


# segunda condición inicial
x0 = [1, 0.5]
tt = np.linspace(0, 10, 100)
xx = odeint(lotka_volterra, x0, tt)
x1 = xx[:, 0]
x2 = xx[:, 1]

# Graficas
plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(tt, x1, '*g', label = 'conejos $x_1$')
plt.plot(tt, x2, '--r', label = 'ovejas $x_2$')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel('Población')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(x1, x2, 'b', label = '(conejos,ovejas)')
plt.plot(x1[0], x2[0], 'oy', lw = 3, label = 'inicial')
plt.plot(x1[-1], x2[-1], 'ok', lw = 3, label = 'final')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$x_1$ (conejos)')
plt.ylabel('$x_2$ (ovejas)')

plt.show()

Con estas condiciones iniciales, evidenciamos que las ovejas se extinguen y que los conejos alcanzan su máxima capacidad de población.





In [30]:



    


# tercer condición inicial
x0 = [1.5, 1]
tt = np.linspace(0, 10, 100)
xx = odeint(lotka_volterra, x0, tt)
x1 = xx[:, 0]
x2 = xx[:, 1]

# Graficas
plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(tt, x1, '*g', label = 'conejos $x_1$')
plt.plot(tt, x2, '--r', label = 'ovejas $x_2$')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel('Población')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(x1, x2, 'b', label = '(conejos,ovejas)')
plt.plot(x1[0], x2[0], 'oy', lw = 3, label = 'inicial')
plt.plot(x1[-1], x2[-1], 'ok', lw = 3, label = 'final')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$x_1$ (conejos)')
plt.ylabel('$x_2$ (ovejas)')

plt.show()

Con estas condiciones iniciales, evidenciamos que las ovejas se extinguen y que los conejos alcanzan su máxima capacidad de población.





In [32]:



    


# cuarta condición inicial
x0 = [1, 1.5]
tt = np.linspace(0, 10, 100)
xx = odeint(lotka_volterra, x0, tt)
x1 = xx[:, 0]
x2 = xx[:, 1]

# Graficas
plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(tt, x1, '*g', label = 'conejos $x_1$')
plt.plot(tt, x2, '--r', label = 'ovejas $x_2$')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel('Población')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(x1, x2, 'b', label = '(conejos,ovejas)')
plt.plot(x1[0], x2[0], 'oy', lw = 3, label = 'inicial')
plt.plot(x1[-1], x2[-1], 'ok', lw = 3, label = 'final')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$x_1$ (conejos)')
plt.ylabel('$x_2$ (ovejas)')

plt.show()

Con estas condiciones iniciales, evidenciamos que los conejos se extinguen y que las ovejas alcanzan su máxima capacidad de población.





In [33]:



    


# cuarta condición inicial
x0 = [1, 1]
tt = np.linspace(0, 10, 100)
xx = odeint(lotka_volterra, x0, tt)
x1 = xx[:, 0]
x2 = xx[:, 1]

# Graficas
plt.figure(figsize=(10,5))

plt.subplot(1,2,1)
plt.plot(tt, x1, '*g', label = 'conejos $x_1$')
plt.plot(tt, x2, '--r', label = 'ovejas $x_2$')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$t$')
plt.ylabel('Población')

plt.subplot(1,2,2)
plt.plot(x1, x2, 'b', label = '(conejos,ovejas)')
plt.plot(x1[0], x2[0], 'oy', lw = 3, label = 'inicial')
plt.plot(x1[-1], x2[-1], 'ok', lw = 3, label = 'final')
plt.grid()
plt.legend(loc = 'best')
plt.xlabel('$x_1$ (conejos)')
plt.ylabel('$x_2$ (ovejas)')

plt.show()

Con estas condiciones iniciales, ambas poblaciones subsisten y permanecen constantes e iguales a la condición inicial de población.

Referencia:

  • Strogatz, Steven. NONLINEAR DYNAMICS AND CHAOS, ISBN: 9780813349107, (eBook disponible en biblioteca).
Created with Jupyter by Esteban Jiménez Rodríguez. 




In [ ]:

Content source: cesarcontre/Simulacion2017

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