写像

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$f:A \rightarrow B$ を写像とする. このとき $A$ の部分集合 $A_1, A_2$ に対してつぎの式が成り立つことを証明せよ.

• $A_1 \subset A_2 \Rightarrow f(A_1) \subset f(A_2)$

$\,^{\forall}b \in f(A_1),\, ^{\exists}a \in A_1\, s.t.\, b = f(a)$

$A_1 \subset A_2$ とおくと$,\,a \in A_1 \subset A_2,\, a \in A_2$

$i.e.\, b = f(a) \in f(A_2)$

$\therefore\, f(A_1) \subset f(A_2)$

• $f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$

$f(A_1 \cup A_2) \subset f(A_1) \cup f(A_2)$ を示す.

$\,^{\forall}b \in f(A_1 \cup A_2),\, ^{\exists}a \in A_1 \cup A_2\, s.t.\, b = f(a)$

$a \in A_1 \Rightarrow b = f(a) \in f(A_1) \lor a \in A_2 \Rightarrow b = f(a) \in f(A_2)$

$\therefore\, b = f(a) \in f(A_1) \cup f(A_2)$

$f(A_1 \cup A_2) \supset f(A_1) \cup f(A_2)$ を示す.

$\,^{\forall}b \in f(A_1) \cup f(A_2),$

$b \in f(A_1) \Rightarrow ^{\exists}a \in A_1\, s.t.\, b = f(a) \lor b \in f(A_2) \Rightarrow ^{\exists}a \in A_2\, s.t.\, b = f(a)$

$i.e.\, a \in A_1 \cup A_2$

$\therefore\, b = f(a) \in f(A_1 \cup A_2)$

$\therefore\ f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$

• $f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$

$\,^{\forall}b \in f(A_1 \cap A_2),\, ^{\exists}a \in A_1 \cap A_2\, s.t.\, b = f(a)$

$a \in A_1 \land a \in A_2 \Rightarrow b = f(a) \in f(A_1) \land b = f(a) \in f(A_2)$

$i.e.\ b = f(a) \in f(A_1) \cap f(A_2)$

$\therefore\, f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2)$

また, $B$ の部分集合 $B_1, B_2$ に対してつぎの式が成り立つことを証明せよ.

• $B_1 \subset B_2 \Rightarrow f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2)$

$\,^{\forall}a \in f^{-1}(B_1),\, ^{\exists}b = f(a) \in B_1\, s.t.\, a = f^{-1}(b)$

$B_1 \subset B_2$ とおくと$,\,f(a) \in B_1 \subset B_2,\, f(a) \in B_2$

$i.e.\, a \in f^{-1}(B_2)$

$\therefore\ f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2)$

• $f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$

$f^{-1}(B_1 \cup B_2) \subset f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$ を示す.

$\,^{\forall}a \in f^{-1}(B_1 \cup B_2),\ ^{\exists}b \in B_1 \cup B_2\, s.t.\, a = f^{-1}(b)$

$b \in B_1 \Rightarrow a = f^{-1}(b) \in f^{-1}(B_1)$ $\lor$ $b \in B_2 \Rightarrow a = f^{-1}(b) \in f^{-1}(B_2)$

$\therefore\ a \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$

$f^{-1}(B_1 \cup B_2) \supset f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$ を示す.

$\,^{\forall}a \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2),$

$a \in f^{-1}(B_1) \Rightarrow ^{\exists}b \in B_1\, s.t.\, a = f^{-1}(b)$ $\lor$ $a \in f^{-1}(B_2) \Rightarrow ^{\exists}b \in B_2\, s.t.\, a = f^{-1}(b)$

$i.e.\, b = f(a) \in B_1 \cup B_2$

$\therefore\ a \in f^{-1}(B_1 \cup B_2)$

$\therefore\ f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$

• $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$

$f^{-1}(B_1 \cap B_2) \subset f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_1)$ を示す.

$\,^{\forall}a \in f^{-1}(B_1 \cap B_2),\ ^{\exists}b = f(a) \in B_1 \cap B_2\, s.t.\, a = f^{-1}(b)$

$f(a) \in B_1 \cap B_2 \Rightarrow a \in f^{-1}(B_1) \land a \in f^{-1}(B_2)$

$i.e.\, a \in f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$

$\therefore\ a \in f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$

$f^{-1}(B_1 \cap B_2) \supset f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_1)$ を示す.

$\,^{\forall}a \in f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_1),\ f(a) \in B_1 \land f(a) \in B_2$

$i.e.\, f(a) \in B_1 \cap B_2$

$\therefore\,a \in f^{-1}(B_1 \cap B_2)$

$\therefore\,f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$

$f: A \rightarrow B$ を写像とするとき, つぎの $(1), (2)$ が同値であることを証明せよ.

$(1)$ $f$ は単射である。

$(2)$ 任意の部分集合 $S \subset A$ に対し, $f^{-1}(f(S)) = S$ である.

$(1) \Rightarrow (2)$ を示す.

$f^{-1}(f(S)) = S$ を示す.

$(a)$

$\, f^{-1}(f(S)) \subset S$

$a \in f^{-1}(f(S))$ とする.

$f(a) \in f(S)$,$\,^{\exists}b \in S\,s.t.\,f(a) = f(b)$ となる.

$f$ が単射より, $a = b \in S$

$\therefore\, f^{-1}(f(S)) \subset S$

$(b)$

$ \, S \subset f^{-1}(f(S))$

$a \in S$ とする.

$f(a) \in f(S)$ となる.

よって, $a \in f^{-1}(f(S))$

$\therefore\, S \subset fi^{-1}(f(S))$

$(a), (b)$ より, $f^{-1}(f(S)) = S$

$(2) \Rightarrow (1)$ を示す.

$a, b \in A, f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$ を示す.

$a, b \in A, f(a) = f(b)$ とする.

$S = \{a\}$ とすると, $(2)$ より $S = \{a\} = f^{-1}(\{f(a)\}) = f^{-1}(\{f(b)\}) = f^{-1}(f(\{b\}))$

$S = \{b\}$ とすると, $(2)$ より $S = \{b\} = f^{-1}(\{f(a)\})$

$\therefore \{a\} = \{b\}$ つまり $a = b$

$f: A \rightarrow B$ を写像とする. $A$ の部分集合 $A_1, A_2$ に対して, $f(A_1) \cap f(A_2) \subset f(A_1 \cap A_2)$ の反例を示せ.

$a \in A_1\cap A_2$ として, 写像 $f$ に対して, $f(a) = a^{2}$ とする.

$A_1 = \{-1\}, A_2 = \{1\}$ とおく.

$A_1 \cap A_2 = \phi$

$f(A_1 \cap A_2) = \phi$

一方,

$f(A_1) = \{1\},\, f(A_2) = \{1\}$ より,

$f(A_1) \cap f(A_2) = \{1\}$

$ \{1\} \not\subset \phi$ つまり, $f(A_1) \cap f(A_2) \not \subset f(A_1 \cap A_2)$

$f: A \rightarrow B$ を写像とするとき, つぎの $(1), (2)$ が同値であることを証明せよ.

$(1)$ $f$ は単射である.

$(2)$ 任意の部分集合 $A_1,A_2 \subset A$ に対し, $f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)$ である.

$f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)$ を示す.

$a \in A_1 \cap A_2$ とおく.

$ f(a) \in f(A_1 \cap A_2) \Rightarrow f(a) \in f(A_1) \land f(a) \in f(A_2) \\ \therefore\, f(A_1 \cap A_2) \subset f(A_1) \cap f(A_2) \\ $

$f(a) \in f(A_1) \cap f(A_2)$ より, $f$ は単射なので,

$ f^{-1}(f(a)) \in A_1 \land f^{-1}(f(a)) \in A_2 \Rightarrow a \in A_1 \cap A_2 \\ \therefore\, f(A_1) \cap f(A_2) \subset f(A_1 \cap A_2) $

$a, a^{'} \in A,\, f(a) = f(a^{'}) \Rightarrow a = a^{'}$ を示す.

$^{\forall}A_1, A_2 \subset A\,, f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2).$

$a, a^{'} \in A, f(a) = f(a^{'})$ とする.

$A_1 := \{a\}, A_2 := \{a^{'}\}$ とおく.

$f(a) = f(a^{'}) = f(A_1) \cap f(A_2) = f(A_1 \cap A_2) = f(\{a\} \cap \{a^{'}\})$

$\{a\} \cap \{a^{'}\} \not= \phi $ つまり, $a = a^{'}$