확률의 성질

확률 Probability

여러 가능한 결과 중 일부분이 일어날 가능성을 0과 1 사이 값으로 나타낸 것

시행 Trial, 실험 Experiment

여러 가능한 결과 중 하나가 일어나도록 하는 행위

표본 공간 Sample space

시행에서 나타날 수 있느 모든 결과를 모아 놓은 집합

사건 Event

표본 공간의 부분집합

확률의 3요소

$$ \Omega$: 표본공간, A: 사건, P: 확률 $$$$ (\Omega, A, P) $$

배반 Disjoint

서로 다른 i 와 j 에 대하여 ${A_i\cap}A_j = \varnothing$

확률의 공리

1. 모든 사건 A 에 대하여 $0 \leq P(A) \leq 1$ 이다.
2. 표본 공간 $\Omega$ 에 대하여 $P(\Omega) = 1$ 이다.
3. 사건 ${A_1, A_2, \cdots}$ 이 서로 배반일 때 다음이 성립한다.

$$ P(\bigcup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i) $$

Proof $P(\varnothing) = 0$

$$A_1 = \Omega, A_2 = A_3 = \cdots = \varnothing \\ \implies$$$$P(\Omega) = P(A_1) + \sum_{i=2}^\infty P(A_i) \\ = P(\Omega) + \sum_{i=2}^\infty P(\varnothing)$$$$P(\Omega) = 1$$$$\blacksquare$$

Proof $P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)$

$$A_{n+1} = A_{n+2} = \cdots = \varnothing \\ \implies$$$$\bigcup_{i=1}^\infty A_i = (\bigcup_{i=1}^n A_i) \cup (\bigcup_{i=n+1}^\infty A_i) \\ = (\bigcup_{i=1}^n A_i) \cup (\bigcup_{i=n+1}^\infty \varnothing) \\ = \bigcup_{i=1}^n A_i$$$$\sum_{i=1}^\infty P(A_i) = \sum_{i=1}^n P(A_i) + \sum_{i=n+1}^\infty P(A_i) \\ = \sum_{i=1}^nP(A_i) + \sum_{i=n+1}^\infty P(\varnothing) \\ = \sum_{i=1}^n P(A_i) \because P(\varnothing) = 0$$$$\blacksquare$$

Theorem 1.1

(i) $P(A^c) = 1 - P(A)$

$$P(\Omega) = P(A \cup A^c) \because A \cup A^c = \Omega \\ = P(A) + P(A^c) \because A \cap A^c = \varnothing$$$$\blacksquare$$

(2) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$$A \cup B = A \cup (A^c \cap B)$$$$P(A \cup B) = P(A) + P(A^c \cap B) \because A \cap (A^c \cap B) = \varnothing$$$$B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B)$$$$P(B) = P(A \cap B) + P(A^c \cap B) \because (A \cap B) \cap (A^c \cap B) = \varnothing$$$$\blacksquare$$

(3) $A \subset B \implies P(A) \leq P(B)$

$$B = (A \cap B) \cup (A^c \cap B) \\ = A \cup (A^c \cap B) \because A \subset B$$$$P(B) = P(A) + P(A^c \cap B)$$$$P(A^c \cap B) \ge 0$$$$\blacksquare$$