MAT281

Aplicaciones de la Matemática en la Ingeniería

Sebastián Flores

https://www.github.com/sebastiandres/mat281

Unidad anterior: Introducción y Proyectos

• Introducción y reglas
• Proyectos 2014 y 2015
• Minería Subterránea

Unidad actual: Herramientas Transversales en Ingeniería

• Conjeturas razonables y reglas de aproximación.
• Adimensionalización y teorema pi.
• Visualización y metodologías de trabajo.

¿Qué contenido aprenderemos hoy?

• Conjeturas razonables
• Reglas de aproximación

¿Porqué aprenderemos ese contenido?

• Conjeturas razonables
• Reglas de aproximación

Porque todo ingeniero necesita conocer el orden de magnitud de las soluciones que está buscando.

MOOC

• Soy ferviente partidario de los MOOCs.
• Gran parte de esta clase está basada en el curso Street Fighting Mathematics de Edx.

• Libro asociado disponible gratuitamente en línea.

MOOC

• Como ICM, ¡hay que aprender nuevos conceptos y mantenerse actualizado!

• En general, cursos interesantes (data science, big data, machine learning, parallel programming) se explican en python.

Notación

• $=$ : igual a
• $\approx$ : aproximadamente (latex \approx)
• $\sim$ : del orden de (latex \sim)
• $\propto$ : proporcional (latex \propto)

Notación

• $=$ : Se usa para una igualdad. $$A = \pi a b$$
• $\approx$ : Se usa para igualdad excepto por factor cercano a uno. $$A \approx 3 a b$$
• $\sim$ : Se usa para igualdad excepto por factor sin dimensiones. $$A \sim a b$$
• $\propto$ : Se usa para igualdad excepto por factor con dimensiones. $$A \propto a $$

Regla 1-$\pi$-10

Motivación

• Multiplicar y dividir números rápidamente.

Técnica

• Utilizar notación científica.
• Multiplicar factores de 10.
• Multiplicar factores numéricos utilizando la siguiente aproximación:
  • Si $1 \leq |x| < 2$: aproximar a 1.
  • Si $2 \leq |x| < 6$: aproximar a $\pi$.
  • Si $6 \leq |x| < 10$: aproximar a 10.
• Utilizar $\pi^2 \approx 10$.

Regla 1-$\pi$-10

Ejemplo 1

$$ 1,312 \times 3,124 \times 542 ≈ 1.3 \times 10^3 \times 3.1 \times 10^3 · 5.4 · 10^2 $$$$\approx 1.3 \times 3.1 \times 5.4 \times 10^3 \times 10^3 \times 10^2$$$$\approx 1 \times \pi \times \pi \times 10^8$$$$\approx \pi^2 10^8$$$$\approx 10^9$$

La respuesta exacta es: $$1,312 \times 3,124 \times 542 = 2,221,488,896 \approx 2.2 \cdot 10^9$$ ¡Suficientemente cerca!

Regla 1-$\pi$-10

Ejemplo 2

$$4, 675 · 0.007432 · 892 ≈ 4.6 · 10^3 · 7.4 · 10^{ −3} · 8.9 · 10^2$$$$\approx 4.6 · 7.4 · 8.9 · 10^3 · 10^{ −3} · 10^2$$$$\approx \pi · 10 · 10 · 10^2$$$$\approx \pi · 10^4$$

La respuesta exacta es: $$ 4,675 \times 0.007432 \times 892 = 30,992.1832 \approx 3.1 · 10^4$$ ¡Increíblemente cerca!

Conjeturas razonables

Educated Guessing

A guess that is made using judgment and some degree of knowledge.

Conjetura razonable

El arte de las conjeturas razonables es mezclar adecuadamente fórmulas y valores conocidos, y completar lo desconocido con hipótesis razonables.

Conjeturas razonables

Ejercicio

Sin googlear, anoten en un papel su estimación de la magnitud de los siguientes valores:

• Litros de agua en la tierra.
• Pañales utilizados en Chile al año.

Conjeturas razonables

Litros de agua en la tierra.

Conocimiento relevante

• Radio de la tierra: 6.000 km
• Profundidad media del océano: 5 km

HIpótesis simplificadora

• Tierra es una esfera
• Superficie del océano es 3/4 de la superficie terrestre

Conjeturas razonables

Litros de agua en la tierra.

Superficie Océano × Profundidad Océano = 3/4 Superficie Tierra × Profundidad Océano $$= (3/4) \ 4 \pi \ 6000^2 \ [km^2] × 5 \ [km]$$ $$= 3 · 5 · \pi · 36 · 10^6 \ [km^3]$$ $$= \pi^4 · 10^7 \ [km^3]$$ $$= 10^9 \ [km^3]$$

• Conjetura Razonable: $$10^9 [km^3]$$

• Valor correcto : $$1.4 · 10^9 [km^3 ]$$

40 % de error para un cálculo que tomó menos de 2 minutos.

Conjeturas razonables

Pañales utilizados en Chile al año

Conocimiento relevante

• Población en Chile: 17 millones.
• Un bebe usa 4 pañales por día hasta los 2 años.

HIpótesis simplificadora

• Tasa de mortalidad es constante
• Longevidad de 100 años.

Conjeturas razonables

Pañales utilizados en Chile al año

Pañales utilizados en Chile por año

= Número de Bebés en Chile × Pañales por Bebé por Día × Días en el año

= Número de Bebés en Chile × $4$ [pañales/día] × $365$ [días/año]

= Número de Bebes en Chile × $10^3$ [pañales/año]

Conjeturas razonables

Pañales utilizados en Chile al año

¿Como estimar el número de bebes?

• Los bebes usan pañales hasta los 2 años.
• Por lo tanto el número de bebés en Chile es, aproximadamente, 2 veces el número de nacimientos anuales.
• Si asumimos que la poblacion vive hasta los 100 años, y la tasa de mortalidad es constante, podemos estimar que nacen al año $17 · 10^6 /50 = 34 · 10^4$ bebés
• Por tanto, hay $≈ 7 · 10^5$ bebés entre 0 y 2 años.
• En conclusión, en Chile se utilizan ∼ $7 · 10^5 \times 10^3 = 7 · 10^8$ pañales al año.
• Lo más correcto es decir, en Chile se utilizan entre $10^8$ y $10^9$ panales al año.

Conjeturas razonables

Pañales utilizados en Chile al año

• Conjetura Razonable: $7 · 10^8$ [pañales/año]
• Valor correcto: No hay

El INE cifra en $2.4 · 10^5$ nacimientos anuales, y nuestra estimación fue de $3.4 · 10^5$ nacimientos anuales.

Conjeturas razonables

Aplicación

¿Para modelar el desgaste de un neumático, se debe utilizar mecánica de sólidos o mecánica de la ruptura?

¿Cuánto se desgasta un neumático al dar una vuelta?

Conjeturas razonables

Aplicación

Conocimiento previo

• En 50,000 [km] un neumático se gasta aproximadamente 5 [mm].
• Un atomo tiene un diámetro del orden de magnitud de $10^{-9}$ [m]
• Un neumático tiene un radio de $\sim 50$ [cm].

Hipótesis razonables

• El neumático gira sin deslizar (patinar).

Conjeturas razonables

Aplicación

50,000 km equivalen al siguiente número de giros: $$\frac{50,000 \cdot 10^3 [m]}{2*\pi*0.5 [m]} \approx 10^7$$ Desgaste = $5$ milímetros / $10^7$ vueltas

Es decir el desgaste es $\approx 5 \cdot 10^{-10}$ metros/vuelta.

• Esto quiere decir que en cada vuelta se pierde un espesor menor al tamaño de un átomo ($10^{-9}$ [m]).
• Esto indica que la pérdida de material en la rueda no es en continuo, sino en un proceso más complejo.

Unidades y Dimensiones

Para poder comparar 2 mediciones, éstas deben tener las mismas dimensiones y las mismas unidades.

Ejemplo trivial

“Sebastian mide 5.7 pies y Camilo mide 2.0 metros. Evidentemente Sebastian es mas alto, pues 5.7 > 2.0”

Unidades y Dimensiones

Ejemplo no trivial

"In Nigeria, a relatively economically strong country, the GDP [gross domestic product] is USD 99 billion. The net worth of Exxon is USD 119 billion. When multi- nationals have a net worth higher than the GDP of the country in which they operate, what kind of power relationship are we talking about?"

• GDP (PIB) se mide anualmente, por lo que la unidad correcta sería en USD/año.
• El valor neto de la compañía se mide en USD.

Las unidades no son consistentes y la comparación es incorrecta.

Análisis dimensional de fórmulas

Podemos aplicar análisis dimensional para obtener estimaciones de fórmulas.

Ejemplo motivador

$$A_a = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} dx$$

¿Qué relación es correcta?:

• $A_a \sim a$
• $A_a \sim \sqrt{a} $
• $A_a \sim 1/\sqrt{a} $
• $A_a \sim 1/a$

Análisis dimensional de fórmulas

Observación crucial

Funciones tales como $e^x$, $\sin(x)$, $log(x)$ sólo pueden aplicarse a variables adimensionales.

¿Porqué?

Considere la expansión en Serie de Taylor de las funciones:

$$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + ... $$$$\sin(x) = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + ...$$$$log(1+x) = x - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!} x^3 - \frac{1}{4!} x^4 + ... $$

El lado derecho sólo puede tener sentido si $x$ es adimensional.

Análisis dimensional de fórmulas

Análisis dimensional del ejemplo

$$A_a = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-ax^2} dx$$

• Supongamos que $x$ tiene una cierta unidad $u$.

• $e^{-ax^2}$ es adimensional, por lo tanto $a$ tiene dimensiones de $1/u^2$.

• $dx$ tiene unidades de $u$.
• La integral representa sólo una suma infinitesimal, por lo que no cambia las unidades.
• $A_a$ debe tener unidades de $1 \times u$.

Por lo tanto, $A_a$ debe ser proporcional a $1/\sqrt{a}$. Por supuesto, la respuesta exacta es $\sqrt{\pi/a}$

Análisis dimensional de fórmulas

Ejemplo 2

$$A_b = \int_{0}^{+\infty} e^{-bx} dx$$

Análisis dimensional de fórmulas

Análisis dimensional del ejemplo

$$A_b = \int_{0}^{+\infty} e^{-bx} dx$$

• Supongamos que $x$ tiene una cierta unidad $u$.

• $e^{-bx}$ es adimensional, por lo tanto $b$ tiene dimensiones de $1/u$.

• $dx$ tiene unidades de $u$.
• La integral representa sólo una suma infinitesimal, por lo que no cambia las unidades.
• $A_b$ debe tener unidades de $1 \times u$.

Por lo tanto, $A_b$ debe ser proporcional a $1/b$. En este caso, la respuesta exacta es $1/b$

Análisis Dimensional

Definición

• Simplificación de un fenómeno al reducir las magnitudes físicas involucradas al mínimo número posible.

Casos

• Si el fenómeno no tiene ecuacion(es) asociadas conocidas: utilizaremos el Teorema Buckingham (aka Teorema $\Pi$) que entrega las posibles variables adimensionales, es decir, el espacio dimensional mínimo a estudiar.

• Si el fenómeno si tiene ecuacion(es) asociadas conocidas: realizaremos la Adimensionalización de las ecuaciones permite expresarla de la manera más compacta posible.