Control de un balancín aerodinámico
Proyecto Final - Métodos Numéricos

Sergio Agudelo$^1$
Jueves 27 de Junio de 2013
Universidad Nacional de Colombia

$^1$Código: 285675, e-mail: seagudelobe@unal.edu.co

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Introducción

El balancín consta de dos contrapesos, uno de los cuales es capaz de ejercer una fuerza estabilizadora, gracias a la hélice y motor que lleva montados. Este sistema es básicamente un péndulo, con la adición de que puede mantenerse en una posición diferente a la horizontal.
Para medir la posición en la que se encuentra la barra transversal, es usado un potenciómetro (más adelante se caracterizará).

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Modelo Matemático

La ecuación dinámica del sistema es:

$l_1(F_e - F_g\:sin\:\theta - \beta_1\omega) + l_2(F_e\:sin\:\theta-\beta_2\omega) = I\alpha$

En donde:

• $l_1:=\ $ Distancia desde la masa izquierda hasta el centro

• $l_2:=\ $ Distancia desde la masa derecha hasta el centro

• $W_m:=\ $ Fuerza gravitatoria relativa al conjunto motor-hélice

• $F_e:=\ $ Fuerza de empuje generada por la hélice

• $W_c:=\ $ Fuerza gravitatoria relativa al contrapeso

• $\beta_1:=\ $ Coeficiente de rozamiento relativo al conjunto motor-hélice

• $\beta_2:=\ $ Coeficiente de rozamiento relativo al contrapeso

• $I:=\ $ Momento de inercia de la sección móvil del montaje

• $\alpha:=\ $ Aceleración angular

El sistema se limitará a una zona de operación en que se cumple $sin\:\theta \approx\theta$. Entonces, la siguiente aproximación es correcta:

$l_1(F_e - W_m\:\theta - \beta_1\omega) + l_2(W_c\:\theta-\beta_2\omega) = I\alpha$

Reescribiendo los términos como diferenciales:

$l_1(F_e - W_m\:\theta - \beta_1\frac{d\theta}{dt}) + l_2(W_c\:\theta-\beta_2\frac{d\theta}{dt}) = I\frac{d^2\theta}{dt^2}$

Para que sea una EDO se debe hacer un cambio de variables, con el fin de que todas las ecuaciones diferenciales resultantes sean de primer orden.

$$y = F_e$$
[ \left{ \begin{array}{l l} x = \frac{d\theta}{dt}\\ \\ \frac{dx}{dt} = \frac{l_1(y - W_m\:\theta - \beta_1x) + l_2(W_c\:\theta-\beta_2x)}{I} \end{array} \right.]

Ahora, si se tiene en cuenta el valor numérico de las constantes usadas:

$$l_1 = 0.3\:m$$
$$l_2 = 0.25\:m$$
$$W_m = m_m\:g = (9.81\:m/s^2)(0.150\:kg) = 1.4715\:N$$
$$W_c = m_c\:g = (9.81\:m/s^2)(0.350\:kg) = 3.4335\:N$$
$$\beta_1 = \beta_2 = 0.0001\frac{N\cdot m}{rad/s}$$
$$I = 0.0765375\:kg\cdot m^2$$

El sistema resultante es:

[ \left{ \begin{array}{l l} x = \frac{d\theta}{dt}\\ \\ \frac{dx}{dt} = \frac{l_1(y - W_m\:\theta - \beta_1x) + l_2(W_c\:\theta-\beta_2x)}{I} \end{array} \right.]