线性方程组

线性方程组
线性方程组的解有三种情况：
1. 无解
2. 唯一解
3. 无穷多解
线性方程组的系数 -> 矩阵 -> 增广矩阵
解线性方程组 -> 增广矩阵的行初等变换：
1. 倍加变换
2. 对换变换
3. 倍乘变换
行阶梯形矩阵 (一般是上三角，故称为 $U$(upper)) -> 基本变量与自由变量

定理1 (简化阶梯形矩阵的唯一性) 每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

定理2 (存在与唯一性定理) 线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如 $$ [0 \cdots 0 \quad b] \quad b \neq 0 $$ 的行，若线性方程组相容，它的解集可能有两种情形：(1) 当没有自由变量时，有唯一解；(2) 若至少有一个自由变量，有无穷多解。

仅有一列的矩阵 -> 列向量 -> 向量
- 是有序对
- 加法 $u + v$ 与数乘 c$u$
给定 $\mathbb{R}^{n}$ 中向量 $v_1,v_2, \cdots, v_p$ 和标量 $c_1, c_2, \cdots, c_p$，向量 $$ y = c_{1}v_{1}+ \cdots + c_{p}v_{p} $$ 称为向量 $v_1, v_2, \cdots, v_p$ 以 $c_1, c_2, \cdots, c_p$ 为权的线性组合。
向量方程 <=> 增广矩阵的线性方程组
一个基本思想：把向量的线性组合看作是矩阵与向量的积。

定理3 若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，它的各列为 $a_1, \cdots, a_n$，而 $b$ 属于 $\mathbb{R}^m$，则矩阵方程 $$ Ax = b $$ 与向量方程 $$x_{1}a_{1}+x_{2}a_{2}+ \cdots +x_{n}a_{n}=b$$ 有相同的解集。它又与增广矩阵为 $$ [a_1 \quad a_2 \cdots a_n \quad b]$$ 的线性方程组有相同的解集。

定理4 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则下列命题是逻辑上等价的，也就是说，对某个 $A$，它们都成立或者都不成立。

对 $\mathbb{R}^m$ 中的每个 $b$，方程 $Ax=b$ 有解。

$\mathbb{R}^m$ 中的每个 $b$ 都是 $A$ 的列的一个线性组合。

$A$的各列生成$\mathbb{R}^m$。

$A$在每一行都有一个主元位置。

主对角线上元素为 1，其他位置上元素为 0，这个矩阵称为单位矩阵，记为 $I$。

定理5 若 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$u$ 和 $v$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中向量，$c$ 是标量，则

$A(u + v) = Au + Av$

$A(cu) = c(Au)$

线性方程组如果可以写成 $Ax=0$ 的形式，其中 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵而 $0$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中的零向量，则称为齐次的。这样的方程组至少有一个解，即 $x=0$，这个解称为它的平凡解。
齐次方程 $Ax=0$ 有非平凡解，当且仅当方程至少有一个自由变量。
参数向量方程 $x = su+tv$

定理6 设方程 $Ax=b$ 对某个 $b$ 是相容的， $p$ 为一个特解，则 $Ax=b$ 的解集是所有形如 $w=p+v_k$ 的向量的集，其中 $v_k$ 是齐次方程 $Ax=0$ 的任意一个解。

$\mathbb{R}^n$ 中一组向量 ${v_1, \cdots, v_p}$ 若在向量方程 $$ x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}+\cdots+x_{p}v_{p}=0 $$ 仅有平凡解，则称之为 线性无关. 若存在不全为零的权 $c_1, \cdots, c_p$，使 $$ c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}+\cdots+c_{p}v_{p}=0 $$, 则称之为 线性相关。

定理7 (线性相关集的特征) 两个或更多个向量的集合 $S={v_1,\cdots, v_p}$ 线性相关，当且仅当 $S$ 中至少有一个向量是其他向量的线性组合，事实上，若 $S$ 线性相关，且 $v_1 \neq 0$，则某个 $v_j(j>1)$ 是它前面几个向量 $v_1, \cdots, v_{j-1}$ 的线性组合。

定理8 若一个向量组的向量个数超过每个向量元素个数，那么这个向量组线性相关。就是说，$\mathbb{R}^n$ 中任意向量组 ${v_1, \cdots, v_p}$，当 $p>n$ 时线性相关。

定理9 若向量组 $S={v_1, \cdots, v_p}$ 包含零向量，则它线性相关。

矩阵变换线性变换强调映射的性质，而矩阵变换描述这样的映射如何实现。

定理10 设 $T:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m$ 为线性变换，则存在唯一的矩阵 $A$，使 $$T(x)=Ax，对 \mathbb{R}^n 中的一切x$$ 事实上，$A$ 是 $m\times n$ 矩阵，它的第 $j$ 列是向量 $T(e_j)$，其中 $e_j$ 是单位矩阵 $I_n$ 的第 $j$ 列：$$A = [T(e_1) \cdots T(e_n)]$$

定理11 设 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 为线性变换，则 $T$ 是一对一当且仅当方程 $Ax=0$ 仅有平凡解。

定理12 设 $T:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ 是线性变换，设 $A$ 为 $T$ 的标准矩阵，则

$T$ 把 $\mathbb{R}^n$ 映射到 $\mathbb{R}^m$，当且仅当 $A$ 的列生成 $\mathbb{R}^m$。

$T$ 是一对一的，当且仅当 $A$ 的列线性无关。