A matplotlib csomag elsősorban 2D ábrák gyártására lett kitalálva. Ennek ellenére rendelkezik néhány 3D-s ábrakészítési függvénnyel is. Vizsgáljunk meg ebből párat! Ahhoz, hogy a 3D-s ábrázolási függvényeket el tudjuk érni, be kell tölteni a matplotlib csomag mpl_toolkits.mplot3d alcsomagját.
In [1]:
%pylab inline
from mpl_toolkits.mplot3d import * #3D-s ábrák alcsomagja
from ipywidgets import * #interaktivitáshoz szükséges függvények
Ahhoz hogy egy ábrát térben tudjunk megjeleníteni, fel kell készíteni a környezetet. A térbeli ábrák megjelenítése és azok tulajdonságainak beállítása kicsit körülményesebb a 2D-s ábráknál. A legszembetűnőbb különbség, hogy az ábrák úgynevezett axes (körül belül itt a koordinátatengelyekre kell gondolni...) objektumok köré csoportosulnak, s ezek tulajdonságaiként, illetve ezeken alkalmazott függvényekként jönnek létre maguk az ábrák. Példaképpen ábrázoljunk egy egszerű paraméteres térbeli görbét! Legyen ez a görbe a következő spirális függvény:
Először is gyártsuk let a $t$ paraméter mintavételezési pontjait a $[0,2\pi]$ intervallumban:
In [3]:
t=linspace(0,2*pi,100) # 100 pont 0 és 2*pi között
A következő kódcellában két dolog fog történni. Előszöris létrehozzuk az ax nevű axes objektumot, amelynek expliciten megadjuk, hogy 3D-s koordinátarendszer legyen. Illetve erre az objektumra hatva a plot függvénnyel létrehozzuk magát az ábrát. Figyeljük meg, hogy most a plot függvény háruom bemenő paramétert vár!
In [4]:
ax=subplot(1,1,1,projection='3d') #térbeli koordináta tengely létrehozása
ax.plot(cos(3*t),sin(3*t),t)
Out[4]:
Ahogy a síkbeli ábráknál láttuk, a plot függvényt itt is használhatjuk rendezetlenül mintavételezett adatok ábrázolására is.
In [5]:
ax=subplot(1,1,1,projection='3d')
ax.plot(rand(10),rand(10),rand(10),'o')
Out[5]:
A stílusdefiníciók a 2D ábrákhoz hasonló kulcsszavas argumentumok alapján dolgozódnak fel! Lássunk erre is egy példát:
In [6]:
ax=subplot(1,1,1,projection='3d') #térbeli koordináta tengely létrehozása
ax.plot(cos(3*t),sin(3*t),t,color='green',linestyle='dashed',linewidth=3)
Out[6]:
Térbeli ábrák megjelenítése kapcsán rendszeresen felmerülő probléma, hogy jó irányból nézzünk rá az ábrára. Az ábra nézőpontjait a view_init függvény segítségével tudjuk megadni. A view_init két paramétere ekvatoriális gömbi koordinátarendszerben adja meg az ábra nézőpontját. A két bemenő paraméter a deklináció és az azimutszög fokban mérve. Például az $x$-tengely felől így lehet készíteni ábrát:
In [7]:
ax=subplot(1,1,1,projection='3d') #térbeli koordináta tengely létrehozása
ax.plot(cos(3*t),sin(3*t),t)
ax.view_init(0,0)
Az $y$-tengely felől pedig így:
In [8]:
ax=subplot(1,1,1,projection='3d') #térbeli koordináta tengely létrehozása
ax.plot(cos(3*t),sin(3*t),t)
ax.view_init(0,90)
Ha interaktív függvényeket használunk, akkor a nézőpontot az alábbiak szerint interaktívan tudjuk változtatni:
In [9]:
def forog(th,phi):
ax=subplot(1,1,1,projection='3d')
ax.plot(sin(3*t),cos(3*t),t)
ax.view_init(th,phi)
interact(forog,th=(-90,90),phi=(0,360));
A térbeli ábrák egyik előnye, hogy térbeli felületeket is meg tudunk jeleníteni. Ennek a legegyszerűbb esete a kétváltozós $$z=f(x,y)$$ függvények magasságtérképszerű ábrázolása. Ahogy azt már megszoktuk, itt is az első feladat a mintavételezés és a függvény kiértékelése. Az alábbiakban vizsgáljuk meg a $$z=-[\sin(x) ^{10} + \cos(10 + y x) \cos(x)]\exp((-x^2-y^2)/4)$$ függvényt!
In [10]:
x,y = meshgrid(linspace(-3,3,250),linspace(-5,5,250)) # mintavételezési pontok legyártása.
z = -(sin(x) ** 10 + cos(10 + y * x) * cos(x))*exp((-x**2-y**2)/4) # függvény kiértékelés
A plot_surface függvény segítségével jeleníthetjük meg ezt a függvényt.
In [11]:
ax = subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z)
Out[11]:
Sokszor szemléletes a kirajzolódott felületet valamilyen színskála szerint színezni. Ezt a síkbeli ábráknál már megszokott módon a cmap kulcsszó segítségével tehetjük.
In [12]:
ax = subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z,cmap='viridis')
Out[12]:
A térbeli felületek legáltalánosabb megadása kétparaméteres vektor értékű függvényekkel lehetséges. Azaz
\begin{equation} \mathbf{r}(u,v)=\left(\begin{array}{c} f(u,v)\\ g(u,v)\\ h(u,v) \end{array}\right) \end{equation}Vizsgáljunk meg erre egy példát, ahol a megjeleníteni kívánt felület egy tórusz! A tórusz egy lehetséges paraméterezése a következő:
\begin{equation} \mathbf{r}(\theta,\varphi)=\left(\begin{array}{c} (R_1 + R_2 \cos \theta) \cos{\varphi}\\ (R_1 + R_2 \cos \theta) \sin{\varphi} \\ R_2 \sin \theta \end{array}\right) \end{equation}Itt $R_1$ és $R_2$ a tórusz két sugarának paramétere, $\theta$ és $\varphi$ pedig mind a ketten a $[0,2\pi]$ intervallumon futnak végig. Legyen $R_1=4$ és $R_2=1$. Rajzoljuk ki ezt a felületet! Első lépésként gyártsuk le az ábrázolandó felület pontjait:
In [12]:
theta,phi=meshgrid(linspace(0,2*pi,250),linspace(0,2*pi,250))
x=(4 + 1*cos(theta))*cos(phi)
y=(4 + 1*cos(theta))*sin(phi)
z=1*sin(theta)
Ábrázolni ismét a plot_surface függvény segítségével tudunk:
In [13]:
ax = subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z)
Out[13]:
A fenti ábrát egy kicsit arányosabbá tehetjük, ha a tengelyek megjelenítésének arányát, illetve a tengerek határait átállítjuk. Ezt a set_aspect, illetve a set_xlim, set_ylim és set_zlim függvények segítségével tehetjük meg:
In [14]:
ax = subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z)
ax.set_aspect('equal');
ax.set_xlim(-5,5);
ax.set_ylim(-5,5);
ax.set_zlim(-5,5);
Végül tegyük ezt az ábrát is interaktívvá:
In [15]:
def forog(th,ph):
ax = subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(x, y, z)
ax.view_init(th,ph)
ax.set_aspect('equal');
ax.set_xlim(-5,5);
ax.set_ylim(-5,5);
ax.set_zlim(-5,5);
interact(forog,th=(-90,90),ph=(0,360));
Térbeli vektortereket, azaz olyan függvényeket, amelyek a tér minden pontjához egy háromdimenziós vektort rendelnek, a síkbeli ábrákhoz hasonlóan itt is a quiver parancs segítségével tudunk megjeleníteni. Az alábbi példában az egységgömb felületének 100 pontjába rajzolunk egy-egy radiális irányba mutató vektort:
In [16]:
phiv,thv=(2*pi*rand(100),pi*rand(100)) #Ez a két sor a térbeli egység gömb
xv,yv,zv=(cos(phiv)*sin(thv),sin(phiv)*sin(thv),cos(thv)) #100 véletlen pontját jelöli ki
uv,vv,wv=(xv,yv,zv) #Ez pedig a megfelelő pontokhoz hozzá rendel egy egy radiális vektort
In [17]:
ax = subplot(111, projection='3d')
ax.quiver(xv, yv, zv, uv, vv, wv, length=0.3,color='darkcyan')
ax.set_aspect('equal')