

In [1]:

    
import numpy as np
from scipy import linalg

14.1

Задані виміри економіки країни



In [2]:

    
X = np.array([
    [1320, 1170],
    [1060, 965]
])



In [3]:

    
y = np.array([
    [1075],
    [1185]
])



In [4]:

    
s = np.array([0.45, 0.2])

Модель міжгалузевої залежності цін

Нехай $X$ - це матриця в якій $x_{i j}$ елемент позначає витрати продукції $i$-ї галузі на потреби $j$-ї.

y - вектор $y_i$ елемент якого це обсяг $i$-ї продукції, що витрачається у невиробничій сфері.

Тоді загальний випуск $i$-ї галузі (позначимо $x_i$), при загальній кількості галузей $n$, можна записати як: \begin{equation} x_i = \sum_{j=1}^n x_{i j} + y_i \label{eq:sum_prod} \tag{1} \end{equation}

У моделі Леонтьєва вводиться припущення про пропорційну залежність між витратами та об'ємом виробництва, тобто вводяться лінійно-однорідні функції виробничих витрат: \begin{equation} x_{i j}=a_{i j} x_j => a_{i j} = \frac{x_{i j}}{ x_j} \label{eq:leon_assum} \tag{2} \end{equation}

Модель міжгалузевої залежності цін описується рівнянням: \begin{equation} p = A^T p + s => (E - A ^ T) p = s \label{eq:pr_dep} \tag{3} \end{equation} Тут $p$ - вектор цін на товари, $s$ - вектор доданих вартостей в ціні



In [5]:

    
x = (np.sum(X, axis=1).reshape(-1, 1) + y)
print(x)









    



[[3565]
 [3210]]



In [6]:

    
A = X / x.T
print(A)









    



[[ 0.37026648  0.36448598]
 [ 0.2973352   0.30062305]]



In [7]:

    
M = np.eye(A.shape[0]) - A.T



In [8]:

    
p = np.linalg.solve(M, s)
print("Ціни на промислову та сільськогосподарську продукцію: {}".format(p))









    



Ціни на промислову та сільськогосподарську продукцію: [ 1.12691012  0.87326719]

14.2



In [9]:

    
A = np.array([
    [0.7, 0.05, 0.05],
    [0.05, 0.75, 0.05],
    [0.6, 0.15, 0.05]
])
y = np.array([
    [1900],
    [1500],
    [1100]
])

Аналіз матриці прямих виробничих витрат $A$



In [10]:

    
w = linalg.eig(A, left=True)



In [11]:

    
eigvalues = w[0]
pol_coef = np.poly(w[0])
max_eig_ind = np.argmax(w[0])
fro_number = w[0][max_eig_ind]
fro_l = w[1][:, max_eig_ind] * (-1 if w[1][0, max_eig_ind] < 0 else 1)
fro_r = w[2][:, max_eig_ind] * (-1 if w[2][0, max_eig_ind] < 0 else 1)



In [12]:

    
print("Характеристичний поліном: {}".format(pol_coef))
print("Власні числа: {}".format(", ".join(map(lambda x: str(x.real), eigvalues))))
print("Число Фробеніуса: {}".format(fro_number.real))
print("Лівий вектор Фробеніуса: ({})".format(", ".join(map(lambda x: str(x.real), fro_l))))
print("Правий вектор Фробеніуса: ({})".format(", ".join(map(lambda x: str(x.real), fro_r))))









    



Характеристичний поліном: [  1.00000000e+00  -1.50000000e+00   5.57500000e-01  -2.50000000e-04]
Власні числа: 0.000448972689168, 0.676723625695, 0.822827401615
Число Фробеніуса: 0.8228274016154079
Лівий вектор Фробеніуса: (0.723483833587, 0.684306570005, 0.0910805181499)
Правий вектор Фробеніуса: (0.494997713423, 0.69649905063, 0.519486608276)

Продуктивність

Теорема Для продуктивності моделі Леонтьєва необхідно й достататньо, щоб фробеніусове число $\lambda_A$ матриці $A$ задовольняло нерівності $\lambda_A < 1$



In [13]:

    
print("Матриця A - {}продуктивна".format("" if fro_number.real < 1 else "не "))









    



Матриця A - продуктивна

Матриця повних витрат

Матриця повних витрат $B$ обчислюється як сума ряду: \begin{align} B &= E + A + A^2 + ... + A^N \\ N &\rightarrow \inf \end{align} Для того, щоб дослідити ряд на збіжність та обчислити матрицю B побудуємо послідовність $B_i$, яка прямує до B: \begin{align} &B_0 = E \\ &B_{i + 1} = B_i A + E \end{align} Тоді критерій збіжності набуває вигляду: $$max( \bigl| B_i - B_{i + 1} \bigr| ) < \epsilon$$



In [14]:

    
B = np.eye(A.shape[0])
B_pr = B.copy()
eps = 0.01
for i in range(100):
    B_pr, B = B, B_pr
    B = np.dot(B_pr, A) + np.eye(A.shape[0])
    if np.max(np.fabs(B - B_pr)) < eps:
        break



In [15]:

    
print("Матриця повних витрат")
print(B)









    



Матриця повних витрат
[[ 3.98575637  0.93122482  0.25804895]
 [ 1.30988624  4.41209929  0.30012244]
 [ 2.71792601  1.27902876  1.26222235]]

Вектор кінцевого випуску

З моделі Леонтьєва: $$x = A x + y => (E-A) x = y$$ Розвязавши систему лінійних рівнянь отримуємо вектор кінцевого випуску $x$



In [16]:

    
x = np.linalg.solve(np.eye(A.shape[0]) - A, y)



In [17]:

    
x









    Out[17]:





array([[ 9362.44541485],
       [ 9589.51965066],
       [ 8585.15283843]])



In [ ]: