Vecteurs unitaires: $(\hat{\bf x},\hat{\bf y},\hat{\bf z})$
Expression d'un vecteur ${\bf{A}}$: $\mathbf{A} = A_x \hat{\bf x} + A_y \hat{\bf y} + A_z \hat{\bf z}$
Unité de longueur: $$ dl = \hat{\bf x}dx + \hat{\bf y}dy + \hat{\bf z}dz $$
Unités de surface: $$\begin{eqnarray} ds_x & = & dydz \\ ds_y & = & dxdz \\ ds_z & = & dxdy \\ \end{eqnarray}$$
Unité de volume: $$ dv = dxdydz$$
Expression des coordonées en cylindrique: $$\begin{eqnarray} r & = & \sqrt{x^2+y^2} \\ \phi & = & \tan^{-1}\frac{y}{x} \\ z & = & z \\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaire cylindrique: $$\begin{eqnarray} \hat{\bf r} & = & \frac{x\hat{\bf x}+y\hat{\bf y}}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \hat{\bf \phi} & = & \frac{-y\hat{\bf x}+x\hat{\bf y}}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \hat{\bf z} & = & \hat{\bf z} \\ \end{eqnarray}$$
Expression des coordonées en sphérique $$\begin{eqnarray} R & = & \sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta & = & \tan^{-1}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \phi & = & \tan^{-1}\frac{y}{x}\\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaire sphérique: $$\begin{eqnarray} \hat{\bf R} & = & \frac{x\hat{\bf x}+y\hat{\bf y}+z\hat{\bf z}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \hat{\bf \theta} & = & \frac{z(x\hat{\bf x}+y\hat{\bf y}) - (x^2+y^2)\hat{\bf z}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}\sqrt{x^2+y^2}} \\ \hat{\bf \phi} & = & \frac{-y\hat{\bf x}+x\hat{\bf y}}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaires: $(\hat{\bf r},\hat{ \bf \phi},\hat{\bf z})$
Expression d'un vecteur ${\bf{A}}$: $\mathbf{A} = A_r \hat{\bf r} + A_\phi \hat{\bf \phi} + A_z \hat{\bf z}$
Unité de longueur: $$ dl = \hat{\bf r}dr + \hat{\bf \phi}rd\phi + \hat{\bf z}dz $$
Unités de surface: $$\begin{eqnarray} ds_r & = & rd\phi dz \\ ds_\phi & = & drdz \\ ds_z & = & rdrd\phi \\ \end{eqnarray}$$
Unité de volume: $$ dv = rdrd\phi dz$$
Expression des coordonées en cartésien: $$\begin{eqnarray} x & = & r \cos \phi \\ y & = & r \sin \phi \\ z & = & z \\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaires cartésien: $$\begin{eqnarray} \hat{\bf x} & = & \cos \phi \hat{\bf r} - \sin \phi \hat{\bf \phi} \\ \hat{\bf y} & = & \sin \phi \hat{\bf r} - \cos \phi \hat{\bf \phi} \\ \hat{\bf z} & = & \hat{\bf z} \\ \end{eqnarray}$$
Expression des coordonées en sphérique: $$\begin{eqnarray} R & = & \sqrt{r^2 + z^2} \\ \theta & = & \tan^{-1}(r/z) \\ \phi & = & \phi \\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaires sphérique: $$\begin{eqnarray} \hat{\bf R} & = & \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}\hat{\bf r} + \frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\hat{\bf z} \\ \hat{\bf \theta} & = & \frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\hat{\bf r} + \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}\hat{\bf z} \\ \hat{\bf \phi} & = & \hat{\bf \phi} \\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaires: $(\hat{\bf R},\hat{ \bf \theta},\hat{\bf \phi})$
À noter que la coordonée de rayon, $\bf R$ est différente de la coordonée $\bf r$ dans un référentiel cylindrique, mais que la coordonée $\bf \phi$ est la même dans ces deux référentiel.
Expression d'un vecteur ${\bf{A}}$: $\mathbf{A} = A_R \hat{\bf R} + A_\theta \hat{\bf \theta} + A_\phi \hat{\bf \phi}$
Unité de longueur: $$ dl = \hat{\bf R}dR + \hat{\bf \theta}R d\theta + \hat{\bf \phi}R \sin \theta d\phi $$
Unités de surface: $$\begin{eqnarray} ds_R & = & R^2 \sin\theta d\theta d\phi \\ ds_\theta & = & R \sin\theta dR d\phi \\ ds_\phi & = & R dR d\theta \\ \end{eqnarray}$$
Unité de volume: $$ dv = R^2\sin \theta dR d\theta d\phi$$
Expression des coordonées en cartésien:$$\begin{eqnarray} x & = & R sin \theta \cos \phi \\ y & = & R \sin \theta \sin \phi \\ z & = & R \cos \theta \\ \end{eqnarray}$$
Relation entre coordonées sphériques et cartésiennes: $$\begin{eqnarray} x & = & R \sin \theta \cos \phi \\ y & = & R \sin \theta \sin \phi \\ z & = & R \cos \theta \\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaires cartésien: $$\begin{eqnarray} \hat{\bf x} & = & \cos \phi (\sin \theta \hat{\bf R} \cos \theta \hat{\bf \theta}) - \sin \phi \hat{\bf \phi} \\ \hat{\bf y} & = & \sin \phi (\sin \theta \hat{\bf R} \cos \theta \hat{\bf \theta}) + \cos \phi \hat{\bf \phi} \\ \hat{\bf z} & = & \cos \theta \hat{\bf R} - \sin \theta \hat{\bf \theta} \\ \end{eqnarray}$$
Relation entre coordonées sphériques et cylindrique: $$\begin{eqnarray} r & = & R\sin \theta \\ \phi & = & \phi \\ z & = & R \cos \theta \\ \end{eqnarray}$$
Vecteurs unitaires cylindrique: $$\begin{eqnarray} \hat{\bf r} & = & \sin\theta\hat{\bf R} + \cos \theta \hat{\bf \theta}\\ \hat{\bf \phi} & = & \hat{\bf \phi} \\ \hat{\bf z} & = & \cos\theta \hat{\bf R} - \sin\theta \hat{\bf \theta}\\ \end{eqnarray}$$
Produit scalaire: $${\bf A \cdot B} = A_i B_i + A_j B_j + A_k B_k = AB\cos(\theta_{AB})$$
Produit vectoriel: $${\bf A \times B} = \left| \begin{array}{ccc} \hat{\bf i} & \hat{\bf j} & \hat{\bf z} \\ A_i & A_j & A_k \\ B_i & B_j & B_k \\ \end{array} \right| = \hat{\bf{n}}\left|AB\sin(\theta_{AB})\right|$$
Opérateur $del$, symbole $nabla$: $\nabla$ $$ \nabla = \hat{\bf u}_1 \frac{\partial}{h_1\partial u_1} + \hat{\bf u}_2 \frac{\partial}{h_2\partial u_2} + \hat{\bf u}_3 \frac{\partial}{h_3\partial u_3} $$
Où les $h_i$ sont les facteurs d'échelles (ou coefficient de métrique) propre au système de coordonée: $$ h_i = \left| \frac{\partial {\bf l}}{\partial u_i} \right| $$ ou l'unité de longueur est: $d{\bf l} = dx + dy + dz$
Donc :
En cartésien: $h_x = h_y = h_z = 1$
En cylindrique: $h_r = h_z = 1$, $h_\phi = r$
En sphérique: $h_R = 1$, $h_\theta = R$, $h_\phi = R\sin\theta$
Vecteur représentant l'amplitude et la direction de changement spatial maximum d'un champ scalaire, $V(x,y,z)$ $$ \nabla V = \hat{\bf x}\frac{\partial V}{\partial x} + \hat{\bf y}\frac{\partial V}{\partial y} +\hat{\bf z}\frac{\partial V}{\partial z}$$
La divergence d'un champ vectoriel, $\bf A$, représente le flux net sortant par unité de volume pour un volume tendant vers 0: $$ \lim_{\Delta v \to 0} \frac{\oint_S {\bf A} d{\bf s}}{\Delta v}$$
En coordonées cartésiennes, cette expression est équivalente à : $\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$
On définis donc la divergence de $\bf A$ comme: $$\nabla \cdot {\bf A}$$
Pour un système de coordonée générique $(u_1,u_2,u_3)$ $$ \nabla \cdot {\bf A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left( \frac{\partial}{\partial u_1} (h_2 h_3 A_{u_1}) + \frac{\partial}{\partial u_2} (h_1 h_3 A_{u_2}) + \frac{\partial}{\partial u_3} (h_1 h_2 A_{u_3}) \right)$$
L'intégrale volumique de la divergence d'un champ vectoriel est égale au flux net sortant de la surface limitant le volume d'intégration. $$ \int_V \nabla \cdot {\bf A} dv = \oint_S {\bf A} \cdot d {\bf s} $$
Pour que ce théorème soit valide, le champ $\bf A$ et sa dérivée doivent exister et être continu sut $V$ et $S$
Le rotationel d'un champ vectoriel $\bf{A}$, $\nabla \times {\bf A}$, est un vecteur représentant la circulation maximum de $\bf{A}$ par unité de surface pour une surface infinitésimale dont la direction est normale à la surface orientée de manière à maximiser la circulation.
Circulation de $\bf A$ pour un contour $C$: $\oint_C {\bf A} \cdot dl$
$$ \nabla \times {\bf A} = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{1}{\Delta s}\left( \hat{\bf n}\oint_C {\bf A} \cdot dl \right) $$Pour un système de coordonées générique $(u_1,u_2,u_3)$
$$\nabla \times {\bf A} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left| \begin{array}{ccc} \hat{\bf u}_1 h_1 & \hat{\bf u}_2 h_2 & \hat{\bf u}_3 h_3\\ \frac{\partial}{\partial u_1} & \frac{\partial}{\partial u_2} & \frac{\partial}{\partial u_3} \\ h_1 A_1 & h_2 A_2 & h_3 A_3 \\ \end{array} \right|$$L'intégrale de surface du rotationnel d'un champ vectoriel sur une surface ouverte est égale à l'intégrale de ligne autour de la courbe définissant la surface
$$ \int_s (\nabla \times {\bf A})\cdot d{\bf s} = \oint_C {\bf A}\cdot d{\bf l}$$Pour que ce théorème soit valide, le champ $\bf A$ et sa dérivée doivent exister et être continu sut $S$ et $C$. Si l'on intègre le rotationel de $\bf A$ sur une surface fermée, il n'y aura pas de contour délimitant cette surface et donc:
$$ \oint_S (\nabla \times {\bf A}) \cdot d{\bf s} = 0$$