Catedra 14

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Ecuaciones cuasi-lineales de segundo orden

$$ A(x, t) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B(x,t)\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial t} + C(x, t)\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = F\left(x,t, u, \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial t}\right) $$

Se usara la convencion $u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$

Algunos casos tipicos

1. $B = C = 0 \rightarrow u_{xx}A = F$
   • Ejemplo $u_{xx} = Du_t$ Ecuacion de difusion. Es una ecuacion parabolica: $B^2 - 4AC = 0$
2. $B = 0,\,\, A,C < 0 \rightarrow A u_{xx} + C u_{tt} = F$
   • Ejemplo $u_{xx} = c^2u_{tt}$ Ecuacion de onda. Es una ecuacion hiperbolica: $B^2 - 4AC > 0$
3. Elipticas $B^2 - 4AC < 0$
   • Ejemplo $\nabla^2u = 0$ Ecuacion de Laplace
   • En 2D $\rightarrow \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2u}{\partial y^2} = -4\pi G \rho(x, y)$. Poisson.

Condiciones de Borde.

Para resolver las ecuaciones de derivadas parciales es necesario conocer las condiciones de borde del problema, por ejemplo, en el caso de la cuerda, es necesario conocer la forma de la cuerda en todos los puntos para un tiempo determinado:

$$\begin{matrix} u_{xx} = c^2u_{tt} \\ \\ u(x, t=0) = y(x) \\ \\ u(x=0, t) = a \\ \\ u(x=L, t) = b\end{matrix}$$

Otro ejemplo: Ecuacion de Poisson $\nabla^2 \Phi = G(x,y)$

$ \Phi\left(\Gamma\right) = \left[g_1(x,y)\right]_{(x,y)\in\Gamma} \rightarrow $ Condicion de borde rigida (Dirichlet)

Otra opcion para Poisson

$ \left(\dfrac{\partial\Phi}{\partial n}\right)_{\Gamma} \equiv \left(\hat{n}\cdot\nabla\Phi\right)_{\Gamma} = \left[g_2(x,y)\right]_{(x,y) \in \Gamma} \rightarrow $ Condicion de borde tipo Neumann

Ecuaciones Elipticas

Para la ecuacion de Poisson. Se recurre a la definicion de la accion :o

$$ S[\phi] = \int dxdy \left[\frac{1}{2} \left(\nabla\phi\right)^2 + \phi G\right] $$

Se busca $\phi$ tal que minimiza $S[\phi] \rightarrow \delta S[\phi] = 0 \leftrightarrow \nabla^2\phi = G$

(Condicion de borde rigida)

$$\int dxdy \left[\nabla\phi\nabla(\delta\phi) + \delta\phi G\right] \implies \delta S = \int dxdy [-\nabla^2\phi + G]\delta\phi = 0 \implies G = \nabla^2\phi$$

Demostracion proximamente

De modo mas general:

$$\begin{matrix} S[\phi] = \int dxdy\left[\frac{1}{2}\rho(x, y)(\nabla\phi)^2 + F(\phi)\right] \\ \\ \delta S = 0 \implies \nabla(\rho\nabla\phi)-\dfrac{\delta F}{\delta\phi} = 0 \end{matrix}$$

Por ejemplo, si $F(\phi) = -\frac{1}{2}q\phi^2-\phi G \implies \nabla(\rho(x,y)\nabla\phi + q(x,y)\phi(x,y) = G(x,y) $

Discretizacion de S

dibujo

Notacion $\phi_{i,j} = \phi(x_i,y_j)$

$x_i = x_0 + ih$

$y_j = y_0 + jh$

Ej: Discretizacion de Poisson

$\nabla^2\phi = \phi_{xx} + \phi_{yy} = G(x,y)$

$\phi_{xx} = \dfrac{1}{h^2}(\phi_{i+1, k} - 2\phi_{i,k} + \phi_{i+1, k})$

$\dfrac{\phi_{i+1,k} - 2\phi_{i,k} + \phi_{i-1,k}}{h^2} + \dfrac{\phi_{i,k+1} - 2\phi_{i,k} + \phi_{i,k-1}}{h^2} = G_{i,k}$

$\phi_{i,k} = \frac{1}{4}\left[\phi_{i+1, k} + \phi_{i-1, k} + \phi_{i, k+1} + \phi_{i, k-1} - h^2G_{i,k}\right]$

Metodo de la Relajacion

Es un metodo iterativo, relacion de recurrencia

Se recorre el dominio hasta lograr convergencia, pues en principio solo se conoce el borde. $\rightarrow$ Se coloca una adivinanza y luego se itera.

Metodo de sobre-relajacion (acelera la convergencia)

$\phi_{i,k} = (1-\omega)\phi_{i,k} + \dfrac{\omega}{4}\left[\phi_{i+1, k} + \phi_{i-1, k} + \phi_{i, k+1} + \phi_{i, k-1} - h^2G_{i,k}\right]$

Con $\omega=1$ se recupera el metodo de relajacion.

Con $\omega\in\left[1,2\right]$ converhe mas rapido. (Los valores $1.2$ y $1.4$ son recomendados.

Se asignan valores al borde de la grilla y 0 a los otros puntos, luego se itera sin tocar los bordes (dado que estos son fijos)

Nunca se deben tocar los bordes mas que para referencia, en caso de tener bordes rigidos.

Para condicion de borde tipo Neumann

$$\frac{\partial\phi}{\partial n} = [g(x,y)]_{\Gamma}$$

$$\begin{matrix} \frac{\phi_{i,N} - \phi_{i, N-1}}{h} = g_{i,N} \\ \\ \implies \phi_{i,N} = \phi_{i, N-1} + hg_{i,N} \end{matrix}$$

Catedra 15

Problema:

$$\begin{matrix} -\nabla^2\phi = q \\ q = 2(2-x^2-y^2) \end{matrix}$$

Condiciones de borde: $$\begin{matrix} \phi(\pm1, y) = 0 \\ \phi(x, \pm1) = 0 \end{matrix}$$