Die Navier-Stokes-Gleichungen, die wir zuvor hergeleitet haben, lassen sich für 2-dimensionale Strömungen mit konstanter Dichte vereinfachen. Außerdem werden wir ab jetzt von Newtonschen Fluiden ausgehen und die ebenfalls bereits hergeleiteten Gleichungen zur Berechnung der Schubspannungen einsetzen. Die Gravitationskraft wird zunächst vernachlässigt.
Die Kontinuitätsgleichung reduziert sich bei konstanter Dichte auf:
$$\text{div}\overrightarrow{v} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$D.h. das Geschwindigkeitsfeld inkompressibler Strömungen ist divergenzfrei bzw. quellenfrei.
Die Vereinfachung der Impulsgleichung solls anhand der $x$-Richtung nachvollzogen werden. Da die Dichte konstant ist und wir von einer konstanten Viskosität ausgehen, können wir beide jeweils vor die partiellen Ableitungen schreiben. Außerdem ersetzen wir $v_x$ durch $u$ und $v_y$ durch $w$:
$$\small{\rho\frac{\partial u}{\partial t} + \rho u\frac{\partial u}{\partial x} + \rho v\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu\frac{\partial \left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial x} \right)}{\partial x} + \mu\frac{\partial \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \right)}{\partial y} }$$durch $\rho$ geteilt und mit der kinematischen Viskosität $\nu = \mu / \rho$:
$$\small{\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu\left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\frac{\partial^2v}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right] }$$umsortieren:
$$\small{\frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x} + \nu\left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\frac{\partial}{\partial x}\underbrace{\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}\right)}_{= \text{div} \overrightarrow{v} = 0} \right] }$$Die zwei letzten Terme in der eckigen Klammer sind aufgrund der Kontinuitätsgleichung gerade Null. Analog lässt sich auch die 2D-Impulsgleichung für die $y$-Richtung herleiten, so dass sich zusammen mit der Konti-Gleichung folgendes Gleichungssystem ergibt:
Wir haben also 3 Gleichungen für die drei Unbekannten $u$, $v$ und $p$. Das Gleichungssystem ist damit prinzipiell lösbar. Da es sich aber um ein nicht-lineares Gleichungssystem handelt, ist es sehr schwierig, geschlossene Lösungen zu finden. Bis heute sind nur ganz wenige Lösungen für sehr spezielle Randbedingungen bekannt. Es bleibt uns also nichts anderes übrig, als das System numerisch zu Lösen.
Eine weitere Schwierigkeit resultiert daraus, dass die Dichte $\rho$ und der Druck $p$ bei inkompressiblen Strömungen nicht mehr gekoppelt sind (z.B. über das ideale Gasgesetz). D.h. anders als bei kompressiblen Strömungen ist das Druckfeld nicht über die Dichte und die Kontinuitätsgleichung mit dem Geschwindigkeitsfeld verbunden.
Trotzdem gibt die Kontinuitätsgleichung eine Nebenbedingung für $p$ vor: das Druckfeld muss so gestaltet sein, dass es ein Geschwindigkeitsfeld hervorruft, welches quellenfrei (divergenzfrei) ist. Um die Erfüllung der Nebenbedingung sicherzustellen verwendet man üblicherweise eine Gleichung für den Druck. Diese kann man herleiten, indem man die Divergenz der Impulsgleichung für inkompressible, reibungsfreie Strömungen (Eulergleichung) bildet:
$$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial p}{\partial x_i}\right) = - \frac{\partial}{\partial x_i} \left[\rho\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t} + \rho \overrightarrow{v}\cdot\nabla\overrightarrow{v} - \nabla\tau_{ij} \right]$$Mithilfe der Kontinuitätsgleichung und ein paar Umformungen lässt sich die Gleichung vereinfachen zu einer Poisson-Gleichung:
$$\frac{\partial}{\partial x_i}\left(\frac{\partial p}{\partial x_i}\right) = -\rho\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial(v_i v_j)}{\partial x_j}\right]$$In 2D:
Die drei Differentialgleichungen, die wir zur Berechnung inkompressibler, isothermer Strömungen benötigen sind also die beiden Impulsgleichungen ($x$- und $y$-Impuls) sowie die Poisson-Gleichung.
In den folgenden Notebooks werden wir uns mit der Lösung dieses Differentialgleichungssystems beschäftigen und dabei die involvierten Transportprozesse - Konvektion und Diffusion - genauer unter die Lupe nehmen.
In [4]:
from IPython.core.display import HTML
def css_styling():
styles = open('TFDStyle.css', 'r').read()
return HTML(styles)
css_styling()
Out[4]:
In [ ]: