El objetivo es realizar el análisis del valor del dinero en el tiempo para los siguientes tipos de inversiones:
Créditos
Ahorros
Depreciaciones
Bonos
Flujos genéricos de efectivo
Este análisis permite responder diferentes preguntas:
¿Cuáles son los indicadores financieros de un proyecto de generación?
¿Cuáles es la mejor alternativa de crédito para financiar la compra de un equipo?
¿Cuál es el incentivo mínimo que debe darse a una nueva tecnología para incentivar su adopción?
¿Cuál es el riesgo en el que se incurre en una inversión (transmisión, generación, distribución, etc.)?
De forma general:
Componentes de la tasa de interés:
$$1+r = \left( \displaystyle\ 1 + r_\alpha\right) \left( \displaystyle\ 1 + f\right) \left( \displaystyle\ 1 + r_\pi\right)$$
En el interés simple se reciben directamente los intereses del capital sin reinvertirlos. Es típico en algunos tipos de préstamos.
Ejemplo.-- [2, pag. 43] Un amigo necesita un préstamo de $ 450 por 60 días. Usted le presta a un interés simple del 7%, calculado sobre una base anual de 360 días. ¿Cuál es la cantidad total que usted debe recibir al final de periodo?
In [1]:
## cálculo manual
-450 * (1 + 0.07 * 60 / 360)
Out[1]:
Ejemplo.-- [2, pag. 43] Realice el mismo ejemplo anterior sobre una base de 365 días.
In [2]:
## cálculo manual
-450 * (1 + 0.07 * 60 / 365)
Out[2]:
Ejemplo.-- ¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $ 2300 al 25% de interés simple anual durante 3 años?
In [3]:
## cálculo manual
2300 * (1 + 0.25 * 3)
Out[3]:
Ejercicio.-- ¿Qué cantidad de dinero se poseerá después de prestar $ 10000 al 30% de interés simple anual durante 2 años? (R/ $ 16000)
Ejemplo.-- ¿Cuánto dinero se deberá invertir hoy si se quiere obtener al final de 5 años un total de $ 7800 a un interés trimestral del 2%?
In [4]:
-7800 / ((1 + 0.02) ** 20)
Out[4]:
Ejemplo.-- ¿Cuál es el valor futuro de $ 730 dentro de un año con un interés mensual del 2.3%?
In [5]:
730 * (1 + 0.023)**12
Out[5]:
Ejercicio.-- Si un banco promete una tasa anual del 8%, ¿Cuál será el valor que se obtendrá al final de 3 años de una inversion de $ 4500? (R/ $ 5668.70)
Ejercicio.-- ¿Cuál es el valor presente de un pago único de $ 1500 recibido dentro de 2 años si la tasa de interés es de 2.7% mensual? (R/ $ -791.41)
Se calcula $P$ como el valor presente de los pagos iguales $A$:
$$ P=\frac{A}{(1+r)} + \frac{A}{(1+r)^2} + ... $$Sumando $A$ a ambos lados de la ecuación:
$$P+A~=~A \left [ 1 + \left(\frac{1}{1+r}\right) + \left(\frac{1}{1+r}\right) ^2 + ... \right ]~=~A\left [ \frac{1}{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)}\right] ~=~ A + \frac{A}{r}$$Al despejar $P$ se obtiene:
$$P=\frac{A}{r}$$Las formulas financieras para anualidades se obtienen al considerar la resta de dos anualidades infinitas; la primera se inicia en el instánte 0 y la segunda en el instánte $n$:
$$F~=~ P\times(1+r)^n - P^* ~=~\frac{A}{r} \times (1+r)^n - \frac{A}{r} ~=~ A \left [ \frac{(1 + r)^n -1}{r} \right ]$$Ejercicio.-- Deduzca la ecuación para calcular el valor presente ($P$) en función de $A$, $r$ y $n$.
Ejercicio.-- ¿Cuál tasa de interés hace que los siguientes flujos sean equivalentes?
Recibir $ 1000 hoy.
Recibir $ 600 al final del período 1 y otros $ 600 al final del período 2.
Ejercicio.-- Calcule el pago mensual para una hipoteca por $ 250000 con un interés mensual del 0.91%.
Ejercicio.-- Se va a realizar un préstamo por $ 35000 a un interés de 0.91% (mensual) y con pagos mensuales de 325 al final de cada mes. ¿Cuántos meses se requieren para pagar el préstamo?
Ejercicio.-- Deduzca las ecuaciones de equivalencia entre una anualidad finita anticipada y su valor futuro equivalente y despeje $A$, $F$, $r$ y $n$.
Ejercicio.-- ¿Cuánto dinero se deberá abonar mensualmente (al principio del mes) si se desea reunir $ 28700 al final de 5 años y los ahorros rentan al 4% mensual? (R/ $ 120.59)
Ejercicio.-- Se decide ahorrar mensualmente $ 900 los cuales se depositarán al principio de cada mes en una entidad financiera que paga un interés del 2.5% mensual. ¿Cuánto se habrá acumulado al cabo de 2 años? (R/ $ 29114.13)
Ejercicio.-- ¿Cuál es el valor de $A$ para que los dos flujos sean equivalentes usando una tasa ($r$) del 8%?
Ejercicio.-- ¿Cuál es el saldo inicial que debe tener una cuenta si durante 5 años se abonan $ 100 al principio de cada mes, la tasa de interés es del 4% mensual, y al final de último año se desea tener un saldo de $ 29000?